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徳島大学 国立 徳島大学 2016年 第2問
$0$でない複素数$\alpha,\ \beta$が$\alpha^2+\alpha\beta+\beta^2=0$を満たすとする.複素数平面上の$4$点を$\mathrm{O}(0)$,$\mathrm{A}(\alpha)$,$\mathrm{B}(\beta)$,$\mathrm{C}(-\beta)$として,次の問いに答えよ.

(1)$\displaystyle \frac{\beta}{\alpha}$を求めよ.
(2)$\displaystyle \frac{\beta}{\alpha}$の絶対値$r$および偏角$\theta$を求めよ.ただし,偏角の範囲は$0 \leqq \theta<2\pi$とする.
(3)$\triangle \mathrm{ABO}$の$3$つの角の大きさを求めよ.
(4)$\triangle \mathrm{ABO}$の面積を$S_1$とし,$\triangle \mathrm{ABC}$の面積を$S_2$とするとき,$\displaystyle \frac{S_2}{S_1}$の値を求めよ.
徳島大学 国立 徳島大学 2016年 第3問
$\triangle \mathrm{OAB}$の頂点を$\mathrm{O}(0,\ 0)$,$\mathrm{A}(1,\ 0)$,$\mathrm{B}(a,\ b)$とする.辺$\mathrm{OA}$を$p:(1-p)$に内分する点を$\mathrm{P}$,辺$\mathrm{AB}$を$q:(1-q)$に内分する点を$\mathrm{Q}$,辺$\mathrm{BO}$を$r:(1-r)$に内分する点を$\mathrm{R}$とする.ただし,$0<p<1$,$0<q<1$,$0<r<1$とする.$\triangle \mathrm{OAB}$の面積を$S_1$,$\triangle \mathrm{PQR}$の面積を$S_2$として,次の問いに答えよ.

(1)$\triangle \mathrm{OAB}$の重心と$\triangle \mathrm{PQR}$の重心が一致するとき,$p:q:r$を求めよ.
(2)$3$点$(0,\ 0)$,$(x_1,\ y_1)$,$(x_2,\ y_2)$を頂点とする三角形の面積は,$\displaystyle \frac{1}{2} |x_1y_2-x_2y_1|$で表されることを示せ.
(3)$\displaystyle \frac{S_2}{S_1}$を$p,\ q,\ r$を用いて表せ.
(4)$\triangle \mathrm{OAB}$の重心と$\triangle \mathrm{PQR}$の重心が一致するとき,$\displaystyle \frac{S_2}{S_1}$の最小値を求めよ.
高知大学 国立 高知大学 2016年 第1問
実数の定数$a$に対し,二つの関数$f(x)=x^2-4ax+1$および$g(x)=|x|-a$を考える.このとき,次の問いに答えよ.

(1)$a=1$のとき,$y=f(x)$と$y=g(x)$のグラフを描け.
(2)$f(x)>0$が$-4<x<4$をみたすすべての$x$に対して成り立つような$a$の範囲を求めよ.
(3)$f(x)>0$または$g(x)>0$が,$-4<x<4$をみたすすべての$x$に対して成り立つような$a$の範囲を求めよ.
高知大学 国立 高知大学 2016年 第2問
実数の定数$k$に対して,$f(x)=|5 \sin (kx)-6 \cos (x^2)+7|$とおく.このとき,次の問いに答えよ.

(1)すべての$x$に対して,$f(x) \leqq 18$であることを示せ.
(2)$\displaystyle k=\frac{\sqrt{\pi}}{2}$のとき,$f(x)=18$となる$x$の値の例を一つあげよ.
(3)$\displaystyle k=\frac{\sqrt{\pi}}{4}$のとき,$f(x)=18$となる$x$の値は存在しないことを示せ.
(4)$f(x)=18$となる$x$が存在するような$k$の値をすべて求めよ.
高知大学 国立 高知大学 2016年 第4問
自然数$n$と多項式$f(x)$に対して,$\displaystyle a_n=\int_{-1}^1 x^{n-1}f(x) \, dx$で与えられる数列$\{a_n\}$を考える.このとき,次の問いに答えよ.

(1)$f(x)$が$2$次式で$a_1=0$のとき,$a_3 \neq 0$を示せ.
(2)$f(x)$が$2$次式で$a_1=1$,$a_2=0$,$\displaystyle a_3=\frac{3}{5}$のとき,一般項$a_n$を求めよ.
(3)$f(x)$を$k$次式とする.$f(x)$の係数の絶対値のうち最大なものを$M$とおくとき,任意の自然数$n$に対して,$\displaystyle |a_{2n|} \leqq \frac{(k+1)M}{2n+1}$が成り立つことを示せ.
(4)任意の多項式$f(x)$に対して$\displaystyle \lim_{n \to \infty}a_n=0$が成り立つことを示せ.
熊本大学 国立 熊本大学 2016年 第3問
$\displaystyle 0<\theta<\frac{\pi}{2}$を満たす$\theta$に対して,$\alpha=2(\cos \theta+i \sin \theta)$とする.ただし,$i$は虚数単位である.$n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots$に対して
\[ z_n=\alpha^n-2 \alpha^{n-1} \]
とおく.以下の問いに答えよ.

(1)$\displaystyle \theta=\frac{\pi}{3}$とするとき,$z_n$を極形式で表せ.

(2)$\displaystyle \theta=\frac{\pi}{3}$とするとき,$\displaystyle \sum_{k=1}^n |z_k|>500$となる最小の$n$を求めよ.

(3)$z_{1000}$が実数となるような$\theta$の値の個数を求めよ.
高知大学 国立 高知大学 2016年 第2問
$0<k<1$,$0<l<1$とする.鋭角三角形$\mathrm{OAB}$の辺$\mathrm{OA}$を$k:(1-k)$に内分する点を$\mathrm{P}$,辺$\mathrm{OB}$を$l:(1-l)$に内分する点を$\mathrm{Q}$,$\mathrm{AQ}$と$\mathrm{BP}$の交点を$\mathrm{R}$とおく.$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}$,$\overrightarrow{b}=\overrightarrow{\mathrm{OB}}$とおくとき,次の問いに答えよ.

(1)$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$,$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$をそれぞれ$\overrightarrow{a}$,$\overrightarrow{b}$を用いて表せ.
(2)$\overrightarrow{\mathrm{OR}}$を$\overrightarrow{a}$,$\overrightarrow{b}$を用いて表せ.
(3)$\mathrm{P}$,$\mathrm{Q}$が$\mathrm{BP} \perp \mathrm{OA}$かつ$\mathrm{AQ} \perp \mathrm{OB}$をみたすとき,$k,\ l$の値を$\overrightarrow{a}$,$\overrightarrow{b}$のそれぞれの長さ$|\overrightarrow{a|}$,$|\overrightarrow{b|}$および内積$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}$を用いて表せ.
(4)$k,\ l$が$(3)$の条件をみたすとき,点$\mathrm{R}$は$\mathrm{OR} \perp \mathrm{AB}$をみたすかどうかを内積を計算することによって述べよ.
熊本大学 国立 熊本大学 2016年 第1問
$\triangle \mathrm{ABC}$と,$\mathrm{A}$を通り$\mathrm{BC}$に平行な直線$\ell$を考える.$k$を正の数とし,直線$\ell$上に点$\mathrm{P}$を$\overrightarrow{\mathrm{AP}}=k \overrightarrow{\mathrm{BC}}$となるようにとる.また直線$\ell$上に点$\mathrm{Q}$を,線分$\mathrm{PB}$と線分$\mathrm{QC}$が$1$点で交わるようにとる.その交点を$\mathrm{R}$とする.$\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{b}$,$\overrightarrow{\mathrm{AC}}=\overrightarrow{c}$とおき,また$m$を$\overrightarrow{\mathrm{AQ}}=m \overrightarrow{\mathrm{AP}}$により定める.以下の問いに答えよ.

(1)$\overrightarrow{\mathrm{AR}}$を$\overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c},\ k,\ m$を用いて表せ.
(2)$|\overrightarrow{b|}=1$,$|\overrightarrow{c|}=2$,$\displaystyle \cos \angle \mathrm{BAC}=\frac{3}{4}$,$m=-1$とする.$\overrightarrow{\mathrm{BR}}$と$\overrightarrow{\mathrm{CR}}$が直交するとき,$k$の値を求めよ.
熊本大学 国立 熊本大学 2016年 第3問
$\displaystyle 0<\theta<\frac{\pi}{2}$を満たす$\theta$に対して,$\alpha=2(\cos \theta+i \sin \theta)$とする.ただし,$i$は虚数単位である.$n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots$に対して
\[ z_n=\alpha^n-2 \alpha^{n-1} \]
とおく.以下の問いに答えよ.

(1)$\displaystyle \theta=\frac{\pi}{3}$とするとき,$z_n$を極形式で表せ.

(2)$\displaystyle \theta=\frac{\pi}{3}$とするとき,$\displaystyle \sum_{k=1}^n |z_k|>500$となる最小の$n$を求めよ.

(3)$z_{1000}$が実数となるような$\theta$の値の個数を求めよ.
防衛医科大学校 国立 防衛医科大学校 2016年 第1問
以下の問に答えよ.

(1)$\displaystyle a_n=\sum_{k=1}^n 12k(100)^{n-k} (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$で表される数列$\{a_n\}$がある.$a_{17}-a_6$の下$1$桁から$12$桁までの数の和はいくらか.
(2)関数
\[ f(x)=\left\{ \begin{array}{cl}
2x & \left( 0 \leqq x<\displaystyle\frac{1}{2} \right) \phantom{\displaystyle\frac{2}{1}} \\
-2x+2 & \left( \displaystyle\frac{1}{2} \leqq x \leqq 1 \right) \phantom{\displaystyle\frac{[ ]}{2}}
\end{array} \right. \]
とする.このとき,$\displaystyle \int_0^1 |f(f(x))-\sin 2\pi x| \, dx$はいくらか.

(3)極限値$\displaystyle \lim_{x \to \infty} \left( \displaystyle\frac{2x-2}{2x-1}-\displaystyle\frac{2}{{(2x-1)}^2} \right)^{3x}$を求めよ.
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