$t$を実数とし，$\displaystyle f(t)=\int_0^2 |x^2-2x+1-t^2| \, dt$とおく．このとき，次の問いに答えよ．

(1)$f(0)$と$f(1)$の値を求めよ．
(2)$0<t<1$のとき，$f(t)$を求めよ．
(3)$t$が$0 \leqq t \leqq 1$の範囲にあるとき，$f(t)$の最小値を求めよ．

$a$を実数の定数とし，$5$次多項式$\displaystyle f(x)=x^5-\frac{5}{3}(a^2+1)x^3+5a^2x$を考える．ただし，$a>1$とする．

(1)$5$次方程式$f(x)=0$が$5$つの異なる実数解をもつための$a$の条件を求めよ．
(2)$f(1)+f(a)$が${(a+1)}^3$で割り切れるかどうかを調べよ．
(3)$a$が$(1)$の条件を満たすとき，$|f(1)|>|f(a)|$となるための$a$の範囲を求めよ．
(4)$a$が$(1)$と$(3)$の条件を満たすとき，$5$次方程式$f(x)-c=0$が$5$つの異なる実数解をもつための実数$c$の範囲を求めよ．

以下の問いに答えなさい．

(1)次の方程式を満たす$x$と$y$を求めなさい．
\[ |xy-2x-y+2|+|1-e^{x+y|}=0 \]
(2)次の不等式を解きなさい．
\[ 3 \log_{0.5}(x-1)>\log_{0.5}(-x^2+6x-7) \]
(3)次の定積分を求めなさい．
\[ \int_0^{\frac{\pi}{4}} x \sin 2x \, dx \]
(4)関数$f(x)=e^{\sin x}$を微分しなさい．

自然数$n$に対して
\[ S(x)=\sum_{k=1}^n (-1)^{k-1}x^{2k-2},\quad R(x)=\frac{(-1)^n x^{2n}}{1+x^2} \]
とする．さらに$\displaystyle f(x)=\frac{1}{1+x^2}$とする．このとき，次の問に答えよ．

(1)等式$\displaystyle \int_0^1 S(x) \, dx=\sum_{k=1}^n (-1)^{k-1}\frac{1}{2k-1}$が成り立つことを示せ．
(2)定積分$\displaystyle \int_0^1 f(x) \, dx$の値を求めよ．
(3)等式$S(x)=f(x)-R(x)$が成り立つことを示せ．
(4)不等式$\displaystyle |\int_0^1 R(x) \, dx| \leqq \frac{1}{2n+1}$が成り立つことを示せ．
(5)無限級数$\displaystyle 1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\cdots$の和を求めよ．

区間$0 \leqq x \leqq 2\pi$で定められた関数$\displaystyle f(x)=\int_0^{2\pi} (\sin |x-t|) \cos 2t \, dt+\frac{2}{3} \cos x$の最大値，最小値を求めよ．また，最大値を与える$x$の値と最小値を与える$x$の値をすべて求めよ．

$I(a)$を
\[ I(a)=\int_{-1}^1 |x^2-a| \, dx \]
で定義する．このとき次の問いに答えよ．

(1)$a \leqq 0$のとき$I(a)$の最小値を求めよ．
(2)$a \geqq 1$のとき$I(a)$の最小値を求めよ．
(3)$0<a<1$のとき，$t=\sqrt{a}$とおいて$I(a)$を$t$で表し，$I(a)$の最小値を求めよ．

関数$f(x)=2 \sin x-x \cos x \ (0 \leqq x \leqq \pi)$について，次の問いに答えよ．

(1)$f(x)$の導関数を$f^\prime(x)$とするとき，$\displaystyle \frac{\pi}{2} \leqq a \leqq \pi$および$f^\prime(a)=0$を満たす$a$がただ1つ存在することを示せ．
(2)(1)の$a$を用いて，関数$y=f(x)$の増減，グラフの凹凸および変曲点を調べ，そのグラフの概形をかけ．
(3)(1)の$a$について，$0<t<a$とするとき，
\[ S(t)=\int_0^a |f(x)-f(t)| \, dx \]
が最小となるような$t$の値を$a$を用いて表せ．

$2$つの関数$f(x)=x^2+ax+2,\ g(x)=-x^2+bx+2$が，$\displaystyle f^\prime \left( \frac{a+1}{2} \right)=g^\prime \left( \frac{a+1}{2} \right)$をみたしている．このとき，次の問に答えよ．ただし，$a,\ b$は定数で$a<-1$とする．

(1)$b$を$a$で表せ．
(2)$2$つの曲線$C_1:y=f(x)$と$C_2:y=g(x)$のすべての共有点について，その$x$座標を$a$の式で表せ．
(3)$C_1$と$C_2$が囲む部分の面積を$S$とするとき，$S$を$a$で表せ．
(4)$\displaystyle S=\frac{7}{3} |a+1|+2$となるような$a$の値を求めよ．

$n \geqq 3$とする．$1$個のサイコロを$n$回振る．この$n$回の試行のうちで$6$の目がちょうど$2$回，しかも続けて出る確率を$p_n$とする．次の問いに答えよ．

(1)$p_3,\ p_4$を求めよ．
(2)$p_n$を求め，
\[ p_{n+1}-\frac{5}{6}p_n=\left( \frac{1}{6} \right)^2 \left( \frac{5}{6} \right)^{n-1} \]
であることを示せ．
(3)$s_n=p_3+p_4+\cdots +p_n$として，$\displaystyle \lim_{n \to \infty}s_n$を求めよ．ただし，必要ならば，$|r|<1$のとき$\displaystyle \lim_{n \to \infty}nr^n=0$であることは使ってよい．

$\displaystyle a>\frac{1}{4}$のとき，$x$についての方程式
\[ |ax^2-1|=|x^2-4| \]
を解け．