次の問に答えなさい．

(1)$2$つの変数$x,\ y$をもつ関数$f(x,\ y)$を$\displaystyle f(x,\ y)=\frac{x+y}{2}+\frac{|x-y|}{2}$と定める．$x,\ y$が実数の値であるとき，$f(x,\ y)=x$は$x \geqq y$であるための必要十分条件であることを示しなさい．
(2)方程式$x^2+y^2-1+|x^2+y^2-1|=0$を満たす点$(x,\ y)$全体の集合を図示しなさい．

定数$a_1<a_2<a_3< \cdots$に対して，連続関数$f_n(x) (n=1,\ 2,\ \cdots)$が$f_1(x)=|x-a_1|$，$f_{n+1}(x)=f_n(x)+|x-a_{n+1|}$によって定義されている．

(1)$a_1=1,\ a_2=2$のとき，$f_2(x)$の最小値を求めよ．
(2)$a_1=1,\ a_2=2,\ a_3=3$のとき，$f_3(x)$の最小値を求めよ．
(3)$n$が$2$以上の自然数であるとき，$f_n(x)$の最小値を求めよ．

$a$を正の定数とする．曲線$y=|e^{-ax|\sin ax} (x \geqq 0)$において，極大となる点を$x$座標の小さい方から順に$\mathrm{P}_1$，$\mathrm{P}_2$，$\cdots$とする．$\mathrm{P}_n (n=1,\ 2,\ \cdots)$を通り，$y$軸に平行な直線が$x$軸と交わる点を$\mathrm{Q}_n$とする．$\mathrm{P}_n$，$\mathrm{Q}_n$および原点を頂点とする三角形の面積を$S_n$とする．

(1)$\mathrm{P}_n$の座標を$a,\ n$を用いて表せ．
(2)$S_n$を$a,\ n$を用いて表せ．
(3)$\displaystyle \lim_{n \to \infty}\frac{S_n}{S_{n+1}}$の値を求めよ．

実数$a$に対し
\[ I=\int_0^1 |xe^x-a| \, dx \]
とする．以下の問いに答えなさい．ただし，$e$は自然対数の底とする．

(1)$0<a<e$のとき，$te^t=a$を満たす実数$t (0<t<1)$がただ$1$つ存在することを示しなさい．
(2)$0<a<e$のとき，$I$の値を$(1)$の$t$を用いて表しなさい．
(3)$a$がすべての実数を動くとき，$I$の値を最小にする$a$とそのときの$I$の値を求めなさい．

$a,\ b$は実数の定数で$|a|<|b|$をみたすとする．行列$A$を
\[ A=\frac{1}{3} \left( \begin{array}{cc}
a+2b & -2a+2b \\
-a+b & 2a+b
\end{array} \right) \]
によって定めるとき，以下の問いに答えよ．

(1)$x_0 \left( \begin{array}{c}
2 \\
1
\end{array} \right)+y_0 \left( \begin{array}{c}
-1 \\
1
\end{array} \right)=\left( \begin{array}{c}
2 \\
13
\end{array} \right)$をみたす$x_0,\ y_0$を求めよ．
(2)$A \left( \begin{array}{c}
2 \\
1
\end{array} \right),\ A \left( \begin{array}{c}
-1 \\
1
\end{array} \right)$を求めよ．
(3)$n$を自然数とする．$x_n \left( \begin{array}{c}
2 \\
1
\end{array} \right)+y_n \left( \begin{array}{c}
-1 \\
1
\end{array} \right)=A^n \left( \begin{array}{c}
2 \\
13
\end{array} \right)$をみたす$x_n,\ y_n$を$a,\ b,\ n$を用いて表せ．
(4)数列$\{p_n\},\ \{q_n\}$を$\left( \begin{array}{c}
p_n \\
q_n
\end{array} \right)=A^n \left( \begin{array}{c}
2 \\
13
\end{array} \right)$によって定めるとき，$\displaystyle \lim_{n \to \infty}\frac{q_n}{p_n}$を求めよ．

不等式$|\log_5x|+\log_5y \leqq 1$の表す座標平面上の領域を$D$とする．以下の問いに答えよ．

(1)領域$D$を図示せよ．
(2)領域$D$に含まれる点のうち，$x$座標と$y$座標がともに整数となるものは全部でいくつあるか答えよ．

$s$を実数とするとき，座標平面上の$3$点$\mathrm{O}(0,\ 0)$，$\mathrm{A}(-1,\ 2)$，$\mathrm{B}(s,\ |1-s|)$に対して，以下の問いに答えよ．

(1)$2$つのベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$の内積を$t$とおく．$t$を$s$の関数で表せ．また，その$s$の関数を$f(s)$とおくとき，$t=f(s)$のグラフを描け．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$のなす角を$\theta$とするとき，$\cos \theta \leqq 0$となる$s$の範囲を求めよ．
(3)線分$\mathrm{AB}$の中点を$\mathrm{C}$とするとき，線分$\mathrm{OC}$の長さの最小値を求めよ．また，そのときの$s$の値を求めよ．

行列$C=\left( \begin{array}{cc}
0 & \displaystyle\frac{1}{2} \\
-\displaystyle\frac{1}{2} & 0
\end{array} \right)$について，以下の問いに答えよ．

(1)座標平面上の原点$\mathrm{O}$とは異なる点$\mathrm{A}$が，$C$の表す$1$次変換によって点$\mathrm{B}$に移されたとする．線分$\mathrm{OA}$の長さを$|\mathrm{OA|}$，線分$\mathrm{OB}$の長さを$|\mathrm{OB|}$とするとき，$\displaystyle \frac{|\mathrm{OB|}}{|\mathrm{OA|}}$を求めよ．また，$2$つのベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$のなす角を求めよ．
(2)$C,\ C^2,\ \cdots,\ C^n$の表す$n$個（$n \geqq 2$）の$1$次変換によって，座標平面上の点$\mathrm{P}_0$がそれぞれ点$\mathrm{P}_1,\ \mathrm{P}_2,\ \cdots,\ \mathrm{P}_n$に移されるとする．点$\mathrm{P}_0$の座標が$(1,\ 1)$であるとき，線分$\mathrm{P}_0 \mathrm{P}_1$，線分$\mathrm{P}_1 \mathrm{P}_2$，$\cdots$，線分$\mathrm{P}_{n-1} \mathrm{P}_n$の長さの総和を$L_n$とする．$\displaystyle \lim_{n \to \infty}L_n$を求めよ．

原点を$\mathrm{O}$とする$xyz$空間内に$1$辺の長さが$1$の正四面体$\mathrm{OPQR}$がある．点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$を通り$z$軸に平行な$3$直線と$xy$平面との交点をそれぞれ$\mathrm{P}^\prime$，$\mathrm{Q}^\prime$，$\mathrm{R}^\prime$とするとき，次の問いに答えよ．

(1)$\triangle \mathrm{PQR}$，$\triangle \mathrm{P}^\prime \mathrm{Q}^\prime \mathrm{R}^\prime$の面積をそれぞれ$S$，$S_1$とする．$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$の$3$点を通る平面と$xy$平面のなす角を$\theta$とするとき，$S_1=S |\cos \theta|$を示せ．
(2)$\mathrm{O}$が$\triangle \mathrm{P}^\prime \mathrm{Q}^\prime \mathrm{R}^\prime$の周上を含む内部にあるとき，$z$軸と$\triangle \mathrm{PQR}$の交点を$\mathrm{A}$とする．このとき正四面体$\mathrm{OPQR}$の体積$V$は$\displaystyle V=\frac{1}{3} \mathrm{OA} \cdot S_1$となることを示し，$S_1$の最小値を求めよ．
(3)$\mathrm{O}$が$\triangle \mathrm{P}^\prime \mathrm{Q}^\prime \mathrm{R}^\prime$の外部にあり，線分$\mathrm{OP}^\prime$と線分$\mathrm{Q}^\prime \mathrm{R}^\prime$が交点$\mathrm{B}$をもつとき，点$\mathrm{B}$を通り$z$軸に平行な直線と，直線$\mathrm{OP}$および直線$\mathrm{QR}$との交点をそれぞれ$\mathrm{C}$，$\mathrm{D}$とする．このとき四角形$\mathrm{OQ}^\prime \mathrm{P}^\prime \mathrm{R}^\prime$の面積を$S_2$とすると$\displaystyle V=\frac{1}{3} \mathrm{CD} \cdot S_2$となることを示し，$S_2$の最大値を求めよ．

$k$を$0<k<1$の範囲の定数とする．直線$\ell:y=kx$と曲線$C:y=|x^2-2x|$について以下の各問に答えよ．

(1)直線$\ell$と曲線$C$の交点$\mathrm{P}_1(x_1,\ y_1)$，$\mathrm{P}_2(x_2,\ y_2)$を求めよ．ただし，$0<x_1<x_2$とする．
(2)原点を$\mathrm{O}$として，線分$\mathrm{OP}_1$と曲線$C$で囲まれる部分の面積を$S_1$，線分$\mathrm{P}_1 \mathrm{P}_2$と曲線$C$で囲まれる部分の面積を$S_2$とする．このとき，$S_1$と$S_2$をそれぞれ$k$の関数で表せ．
(3)$S=S_1+S_2$とする．このとき，$S$が最小となる$k$の値を求めよ．