関数$f(x)=|x-1| \sqrt{x}$を考える．

(1)関数$f(x)$は$\displaystyle x=\frac{[ク]}{[ケ]}$で極大値$\displaystyle \frac{[コ]}{[サ]} \sqrt{[シ]}$をとり，$x=[ス]$で極小値$[セ]$をとる．
(2)曲線$y=f(x)$と$x$軸によって囲まれた図形の面積は$\displaystyle \frac{[ソ]}{[タ][チ]}$である．
(3)曲線$y=f(x)$と$x$軸によって囲まれた図形を$x$軸のまわりに$1$回転させてできる立体の体積は$\displaystyle \frac{[ツ]}{[テ][ト]}$である．

次の問いに答えよ．

(1)$\displaystyle x=\frac{1}{\sqrt{7}+\sqrt{5}},\ y=\frac{1}{\sqrt{7}-\sqrt{5}}$のとき，
\[ x+y=\sqrt{[ア]},\quad xy=\frac{[イ]}{[ウ]},\quad x^2+y^2=[エ] \]
である．
(2)連立不等式$\left\{ \begin{array}{l}
2x+3 \leqq 4x-7 \\
|x-6|<3
\end{array} \right.$の解は$[オ] \leqq x<[カ]$である．
(3)関数$y=-2x^2+6x-1 (0 \leqq x \leqq 4)$は$\displaystyle x=\frac{[キ]}{[ク]}$で最大値$\displaystyle \frac{[ケ]}{[コ]}$をとり，$x=[サ]$で最小値$[シ][ス]$をとる．
(4)放物線$y=x^2-3x+2$を$x$軸方向に$3$，$y$軸方向に$-2$だけ平行移動してできる曲線は放物線$y=x^2-[セ]x+[ソ][タ]$である．
(5)$0^\circ \leqq \theta \leqq 180^\circ$とする．$\tan \theta=-\sqrt{6}$のとき，$\displaystyle \sin \theta=\frac{\sqrt{[チ][ツ]}}{[テ]}$，$\displaystyle \cos \theta=-\frac{\sqrt{[ト]}}{[ナ]}$である．
(6)$(x^2-1)^{10}$の展開式における$x^4$の係数は$[ア][イ]$である．
(7)赤球$5$個，白球$3$個が入っている袋から$2$個の球を同時に取り出すとき，取り出した球が$2$個とも赤球である確率は$\displaystyle \frac{[ウ]}{[エ][オ]}$であり，取り出した$2$個の球が異なる色である確率は$\displaystyle \frac{[カ][キ]}{[ク][ケ]}$である．
(8)$\triangle \mathrm{ABC}$において$\mathrm{AB}=4$，$\mathrm{BC}=9$，$\mathrm{CA}=7$であるとき，$\displaystyle \cos A=\frac{[コ][サ]}{[シ]}$である．また，$\triangle \mathrm{ABC}$の面積は$[ス] \sqrt{[セ]}$である．

関数$f(x)=(x-7) |x-1|$について，次の問に答えよ．

(1)$a$を実数とするとき，方程式$f(x)=a$の異なる実数解の個数を調べよ．
(2)曲線$y=f(x)$と直線$y=x-7$の交点の座標を求めよ．
(3)曲線$y=f(x) (0 \leqq x \leqq 3)$と$2$直線$y=x-7$，$x=3$で囲まれた$2$つの部分の面積の和$S$を求めよ．

次の各問に答えよ．

(1)方程式$|2x-3|+3=(x-3)^2$を解け．
(2)$21$本のくじの中に当たりくじが$n$本ある．このくじを同時に$2$本引くとき，次の問に答えよ．ただし，$1 \leqq n \leqq 21$とする．

(i) $2$本ともはずれる確率を求めよ．
(ii) 少なくとも$1$本は当たる確率が$\displaystyle \frac{1}{2}$以上となる最小の$n$を求めよ．

(3)$x,\ y$は実数とする．

命題$p$：「$x \neq 3$または$y \neq 2$」ならば「$2x-y \neq 4$または$x+y \neq 5$」

について次の問に答えよ．

(i) 命題$p$の対偶を述べよ．
(ii) 命題$p$を証明せよ．

方程式$2 \log_2 |x-4|+\log_2(x+8)=a$を考える．$a$は定数である．このとき，次の問に答えなさい．

(1)この方程式が解$x=0$をもつとき$a=[ア]$である．
(2)$a=3+\log_25$のとき，この方程式の解$x$は
\[ x=[イ],\quad [ウエ] \pm [オ] \sqrt{[カ]} \]
である．
(3)この方程式の解$x$の個数がちょうど$2$個となるとき$a$の値は$a=[キ]$である．また，このときの解$x$は$x=[クケ]$，$[コ]$である．また$a=5 \log_23$のとき，この方程式の解$x$の個数はちょうど$[サ]$個である．

次の各設問に答えよ．

(1)連立方程式

$\log_5 |x-7|+\log_5(20-y)=2$
$\log_{\frac{1}{3}}(5x+y-32)=-1$

を満たす実数$x,\ y$は，$x=[ア]$，$y=[イウ]$である．
(2)数列$\{a_n\} (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$の初項から第$n$項までの和が$37n^2+15n$のとき一般項は
\[ a_n=[エオ](n-1)+[カキ] \]
であり，$a_n$が$2000$より大きくなるのは第$[クケ]$項からである．

次の各設問に答えよ．

(1)$a,\ b$が有理数である$x^2+ax+b=0$の一つの解が$2+\sqrt{3}$であるとき方程式
\[ ax^2-7x+2b=0 \]
の解は$\displaystyle x=[アイ],\ \frac{[ウ]}{[エ]}$である．
(2)$x$を実数とすると$\displaystyle x^2+\frac{100}{x^2+1}$の最小値は$[オカ]$であり，そのときの$x$の値は$[キク],\ [ケ]$である．
(3)$\mathrm{RISUKU}$の$6$文字をバラバラにして一列に並べるとき，$\mathrm{KUSURI}$という文字になる確率は$\displaystyle \frac{[コ]}{[サシス]}$である．
(4)$\displaystyle \int_{-3}^3 (x+1) |x-2| \, dx$の値は$\displaystyle \frac{[セソ]}{[タ]}$である．

関数$y=|(x+1)(x-2)|$のグラフと直線$y=ax+b$が$4$個の異なる共有点をもつとする．このとき，点$\mathrm{P}(a,\ b)$の存在する領域を図示し，その面積を求めよ．

曲線$y=-x^2+1$を$C_1$とし，曲線$y=2 |x(1-x)|$を$C_2$とする．

(1)$C_1$と$C_2$の交点の座標をすべて求めよ．
(2)$C_1$と$C_2$で囲まれた図形の面積を求めよ．

$xy$平面において，曲線$y=-x^2-2x+6$を$C_1$，曲線$y=3 |x|$を$C_2$とする．

(1)$C_1$と$C_2$の交点の$x$座標を求めよ．
(2)$C_1$と$C_2$で囲まれた部分の面積を求めよ．