「絶対値」について
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私立 北海学園大学 2013年 第4問関数$f(x)=ax^2+bx+c$と$g(x)=|x^2-2x|$がある．曲線$y=f(x)$は$3$点$(1,\ 3)$，$(5,\ -5)$，$(-3,\ -21)$を通る．ただし，$a,\ b,\ c$は定数とする．
(1)$a,\ b,\ c$の値をそれぞれ求めよ．
(2)区間$-2 \leqq x \leqq 3$における$g(x)$の最大値と最小値を求めよ．
(3)曲線$y=f(x)$と曲線$y=g(x)$で囲まれた図形の面積を求めよ．
(1)$a,\ b,\ c$の値をそれぞれ求めよ．
(2)区間$-2 \leqq x \leqq 3$における$g(x)$の最大値と最小値を求めよ．
(3)曲線$y=f(x)$と曲線$y=g(x)$で囲まれた図形の面積を求めよ．
私立 南山大学 2013年 第3問$2$つの関数$f(x),\ g(x)$を
\[ f(x)=\frac{1}{1+e^x},\quad g(x)=\frac{e^x}{(1+e^x)^2} \]
とする．
(1)導関数$f^\prime(x)$を求めよ．
(2)すべての$x$について$g(-x)=g(x)$が成り立つことを示せ．
(3)$a$を正の定数とする．このとき，次の$2$つの定積分を求めよ．
\[ \int_{-a}^a xg(x) \, dx,\quad \int_{-a}^a |x| g(x) \, dx \]
\[ f(x)=\frac{1}{1+e^x},\quad g(x)=\frac{e^x}{(1+e^x)^2} \]
とする．
(1)導関数$f^\prime(x)$を求めよ．
(2)すべての$x$について$g(-x)=g(x)$が成り立つことを示せ．
(3)$a$を正の定数とする．このとき，次の$2$つの定積分を求めよ．
\[ \int_{-a}^a xg(x) \, dx,\quad \int_{-a}^a |x| g(x) \, dx \]
私立 南山大学 2013年 第2問平面上に曲線$C_1:y=|x^2-2|$と円$C_2$がある．$C_1$と$C_2$は，点$\mathrm{A}(a,\ a^2-2)$で共通の接線$\ell$を持ち，点$\mathrm{B}(0,\ 2)$でも共通の接線を持つ．ただし，$a>2$とする．
(1)$C_1$を図示せよ．
(2)$C_1$と$\ell$が$\mathrm{A}$で接することを利用して，$\ell$の方程式を$a$を用いて表せ．
(3)$\mathrm{A}$を通り$\ell$に直交する直線の方程式を$a$を用いて表せ．
(4)$C_2$の方程式を求めよ．
(1)$C_1$を図示せよ．
(2)$C_1$と$\ell$が$\mathrm{A}$で接することを利用して，$\ell$の方程式を$a$を用いて表せ．
(3)$\mathrm{A}$を通り$\ell$に直交する直線の方程式を$a$を用いて表せ．
(4)$C_2$の方程式を求めよ．
私立 甲南大学 2013年 第1問以下の空欄にあてはまる数を入れよ．
(1)$\displaystyle \frac{1}{4-\sqrt{15}}$の整数部分を$a$，小数部分を$b$とする．このとき，$a=[1]$，$a^2-b(b+6)=[2]$である．
(2)不等式$2 |x-2|+|x-1|<3$の解は，$[3]<x<[4]$である．
(3)$x$の$3$次方程式$x^3+ax^2+bx-12=0$の$3$つの解が$-1,\ 3,\ c$であるとき，$a=[5]$，$b=[6]$，$c=[7]$である．
(4)$3$個のサイコロを同時に投げ，出た目のうち最も大きな目を$m$とする．このとき，$m=2$となる確率は$[8]$であり，$m=3$となる確率は$[9]$である．また$m \geqq 4$となる確率は$[10]$である．
(1)$\displaystyle \frac{1}{4-\sqrt{15}}$の整数部分を$a$，小数部分を$b$とする．このとき，$a=[1]$，$a^2-b(b+6)=[2]$である．
(2)不等式$2 |x-2|+|x-1|<3$の解は，$[3]<x<[4]$である．
(3)$x$の$3$次方程式$x^3+ax^2+bx-12=0$の$3$つの解が$-1,\ 3,\ c$であるとき，$a=[5]$，$b=[6]$，$c=[7]$である．
(4)$3$個のサイコロを同時に投げ，出た目のうち最も大きな目を$m$とする．このとき，$m=2$となる確率は$[8]$であり，$m=3$となる確率は$[9]$である．また$m \geqq 4$となる確率は$[10]$である．
私立 昭和大学 2013年 第1問以下の各問に答えよ．
(1)$6x^2-2y^2+xy-x+4y-2$を因数分解せよ．
(2)方程式$x^2-x=|x-2|+2$を解け．
(3)$x=3+\sqrt{2},\ y=3-\sqrt{2}$のとき，
$(ⅰ)$ $x^2+y^2$， \quad $(ⅱ)$ $x^3+y^3$， \quad $(ⅲ)$ $x^3-y^3$
の値をそれぞれ求めよ．
(4)$\triangle \mathrm{ABC}$において，$\sin A:\sin B:\sin C=9:7:5$とする．$\sin A$の値を求めよ．
(1)$6x^2-2y^2+xy-x+4y-2$を因数分解せよ．
(2)方程式$x^2-x=|x-2|+2$を解け．
(3)$x=3+\sqrt{2},\ y=3-\sqrt{2}$のとき，
$(ⅰ)$ $x^2+y^2$， \quad $(ⅱ)$ $x^3+y^3$， \quad $(ⅲ)$ $x^3-y^3$
の値をそれぞれ求めよ．
(4)$\triangle \mathrm{ABC}$において，$\sin A:\sin B:\sin C=9:7:5$とする．$\sin A$の値を求めよ．
私立 日本女子大学 2013年 第1問関数$\displaystyle f(x)=\int_0^4 |t(t-x)| \, dt$について，実数$x$が$-5 \leqq x \leqq 5$の範囲を動くとき，次の問いに答えよ．
(1)$f(x)$の最大値と，最大値を与える$x$の値を求めよ．
(2)$f(x)$の最小値と，最小値を与える$x$の値を求めよ．
(1)$f(x)$の最大値と，最大値を与える$x$の値を求めよ．
(2)$f(x)$の最小値と，最小値を与える$x$の値を求めよ．
私立 西南学院大学 2013年 第5問$\displaystyle y=-x^2+3x+\frac{3}{4}$で表されるグラフを$C_1$とし，$y=|x-1|+|x-2|$で表されるグラフを$C_2$とする．以下の問に答えよ．
(1)$C_1$と$C_2$の概形を同じ座標平面上に描け．
(2)不等式$\displaystyle -x^2+3x+\frac{3}{4}>|x-1|+|x-2|$を解け．
(3)$C_1$と$C_2$で囲まれる部分の面積を求めよ．
(1)$C_1$と$C_2$の概形を同じ座標平面上に描け．
(2)不等式$\displaystyle -x^2+3x+\frac{3}{4}>|x-1|+|x-2|$を解け．
(3)$C_1$と$C_2$で囲まれる部分の面積を求めよ．
私立 西南学院大学 2013年 第2問$2$次方程式$kx^2+8kx+3k-9=0$が異なる$2$つの実数解$\alpha,\ \beta$をもつとき，以下の問に答えよ．
(1)$|\alpha-\beta|=8$のとき，$k=[コ]$となる．
(2)$8<|\alpha-\beta|<10$のとき，$\displaystyle \frac{[サ]}{[シ]}<k<[ス]$となる．
(3)$8<|\alpha-\beta|<10$を満たし，$|\alpha|+|\beta|$が整数になるとき，$\displaystyle k=\frac{[セソ]}{[タチ]}$となる．
(1)$|\alpha-\beta|=8$のとき，$k=[コ]$となる．
(2)$8<|\alpha-\beta|<10$のとき，$\displaystyle \frac{[サ]}{[シ]}<k<[ス]$となる．
(3)$8<|\alpha-\beta|<10$を満たし，$|\alpha|+|\beta|$が整数になるとき，$\displaystyle k=\frac{[セソ]}{[タチ]}$となる．
私立 愛知学院大学 2013年 第3問$x^2-|x|-3 \leqq 0$となる$x$の範囲を求めなさい．
私立 岡山理科大学 2013年 第3問次の設問に答えよ．
(1)関数$y=|x^2-1|$のグラフをかけ．
(2)関数$y=|\abs{x^2-1|-3}$のグラフをかき，そのグラフと$x$軸で囲まれた図形の面積を求めよ．
(1)関数$y=|x^2-1|$のグラフをかけ．
(2)関数$y=|\abs{x^2-1|-3}$のグラフをかき，そのグラフと$x$軸で囲まれた図形の面積を求めよ．