「絶対値」について
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国立 防衛医科大学校 2013年 第3問$-\infty<x<\infty$で定義される$2$つの関数$f(x)=|\cos x|\sin x$，$g(x)=e^{-x}f(x)$について，以下の問に答えよ．
(1)$y=f(x)$のグラフを描け．ただし，$x$の範囲は，$0 \leqq x \leqq 4\pi$とせよ．
(2)すべての$x$に対し，$f(x)=f(x+T)$を満たす正の数$T$のうち，最小の値$\omega$を求めよ．
(3)$\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{2}} g(x) \, dx$を求めよ．
(4)極限値$\displaystyle \lim_{n \to \infty}\int_0^{n \omega}g(x) \, dx$を求めよ．
(1)$y=f(x)$のグラフを描け．ただし，$x$の範囲は，$0 \leqq x \leqq 4\pi$とせよ．
(2)すべての$x$に対し，$f(x)=f(x+T)$を満たす正の数$T$のうち，最小の値$\omega$を求めよ．
(3)$\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{2}} g(x) \, dx$を求めよ．
(4)極限値$\displaystyle \lim_{n \to \infty}\int_0^{n \omega}g(x) \, dx$を求めよ．
国立 岐阜大学 2013年 第4問正の整数$n$について，$x>0$で定義された関数$f_n(x)$を次で定める．
\[ \begin{array}{l}
f_1(x)=x \log x \\
f_{n+1}(x)=(n+1) \int_1^x f_n(t) \, dt+\displaystyle\frac{1}{n+1}(x^{n+1}-1)
\end{array} \]
以下の問に答えよ．ただし，$\log x$は$x$の自然対数とする．
(1)関数$f_2(x)$を求めよ．
(2)関数$f_n(x)$の具体的な形を推測し，それを数学的帰納法で証明せよ．
(3)$g(x)=|f_2(x)|-|x-1|$とおくとき，$g(x)$が$x=1$で微分可能であることを証明せよ．また，微分係数$g^\prime(1)$を求めよ．
\[ \begin{array}{l}
f_1(x)=x \log x \\
f_{n+1}(x)=(n+1) \int_1^x f_n(t) \, dt+\displaystyle\frac{1}{n+1}(x^{n+1}-1)
\end{array} \]
以下の問に答えよ．ただし，$\log x$は$x$の自然対数とする．
(1)関数$f_2(x)$を求めよ．
(2)関数$f_n(x)$の具体的な形を推測し，それを数学的帰納法で証明せよ．
(3)$g(x)=|f_2(x)|-|x-1|$とおくとき，$g(x)$が$x=1$で微分可能であることを証明せよ．また，微分係数$g^\prime(1)$を求めよ．
国立 愛媛大学 2013年 第3問$f(x)=x^2-x$とする．
(1)放物線$y=f(x)$と直線$y=2x$で囲まれた図形の面積を求めよ．
(2)次の問いに答えよ．
(i) 関数$y=f(x)$と$y=2 |x|$のグラフの共有点の座標を求めよ．
(ii) 関数$y=f(x)$と$y=2 |x|+k$のグラフの共有点の個数が$2$となる定数$k$の値の範囲を求めよ．
(1)放物線$y=f(x)$と直線$y=2x$で囲まれた図形の面積を求めよ．
(2)次の問いに答えよ．
(i) 関数$y=f(x)$と$y=2 |x|$のグラフの共有点の座標を求めよ．
(ii) 関数$y=f(x)$と$y=2 |x|+k$のグラフの共有点の個数が$2$となる定数$k$の値の範囲を求めよ．
国立 東京大学 2013年 第6問座標空間において，$xy$平面内で不等式$|x| \leqq 1$，$|y| \leqq 1$により定まる正方形$S$の$4$つの頂点を$\mathrm{A}(-1,\ 1,\ 0)$，$\mathrm{B}(1,\ 1,\ 0)$，$\mathrm{C}(1,\ -1,\ 0)$，$\mathrm{D}(-1,\ -1,\ 0)$とする．正方形$S$を，直線$\mathrm{BD}$を軸として回転させてできる立体を$V_1$，直線$\mathrm{AC}$を軸として回転させてできる立体を$V_2$とする．
(1)$0 \leqq t<1$を満たす実数$t$に対し，平面$x=t$による$V_1$の切り口の面積を求めよ．
(2)$V_1$と$V_2$の共通部分の体積を求めよ．
(1)$0 \leqq t<1$を満たす実数$t$に対し，平面$x=t$による$V_1$の切り口の面積を求めよ．
(2)$V_1$と$V_2$の共通部分の体積を求めよ．
国立 島根大学 2013年 第2問$x<1$に対して，$f(x)=|x| \log (1-x)$とおく．このとき，次の問いに答えよ．
(1)関数$y=f(x)$は$x=0$で微分可能かどうかを調べよ．
(2)関数$y=f(x)$のグラフと直線$y=-x$の交点を求めよ．
(3)不定積分$\displaystyle \int x \log (1-x) \, dx$を求めよ．
(4)$x \leqq 0$において関数$y=f(x)$のグラフと直線$y=-x$で囲まれた図形の面積$S$を求めよ．
(1)関数$y=f(x)$は$x=0$で微分可能かどうかを調べよ．
(2)関数$y=f(x)$のグラフと直線$y=-x$の交点を求めよ．
(3)不定積分$\displaystyle \int x \log (1-x) \, dx$を求めよ．
(4)$x \leqq 0$において関数$y=f(x)$のグラフと直線$y=-x$で囲まれた図形の面積$S$を求めよ．
国立 大分大学 2013年 第2問連立不等式$\left\{ \begin{array}{l}
y \geqq |2x-3| \\
y \leqq x
\end{array} \right.$の表す領域を$D$とする．
(1)領域$D$を図示しなさい．
(2)$a$を$2$でない正の定数とする．点$(x,\ y)$が領域$D$内を動くとき，$ax+y$の最大値と最小値，およびそのときの点$(x,\ y)$を求めなさい．
(3)点$(x,\ y)$が領域$D$内を動くとき，$x^2+y^2$の最小値とそのときの点$(x,\ y)$を求めなさい．
y \geqq |2x-3| \\
y \leqq x
\end{array} \right.$の表す領域を$D$とする．
(1)領域$D$を図示しなさい．
(2)$a$を$2$でない正の定数とする．点$(x,\ y)$が領域$D$内を動くとき，$ax+y$の最大値と最小値，およびそのときの点$(x,\ y)$を求めなさい．
(3)点$(x,\ y)$が領域$D$内を動くとき，$x^2+y^2$の最小値とそのときの点$(x,\ y)$を求めなさい．
国立 大分大学 2013年 第1問連立不等式$\left\{ \begin{array}{l}
y \geqq |2x-3| \\
y \leqq x
\end{array} \right.$の表す領域を$D$とする．
(1)領域$D$を図示しなさい．
(2)$a$を$2$でない正の定数とする．点$(x,\ y)$が領域$D$内を動くとき，$ax+y$の最大値と最小値，およびそのときの点$(x,\ y)$を求めなさい．
(3)点$(x,\ y)$が領域$D$内を動くとき，$x^2+y^2$の最小値とそのときの点$(x,\ y)$を求めなさい．
y \geqq |2x-3| \\
y \leqq x
\end{array} \right.$の表す領域を$D$とする．
(1)領域$D$を図示しなさい．
(2)$a$を$2$でない正の定数とする．点$(x,\ y)$が領域$D$内を動くとき，$ax+y$の最大値と最小値，およびそのときの点$(x,\ y)$を求めなさい．
(3)点$(x,\ y)$が領域$D$内を動くとき，$x^2+y^2$の最小値とそのときの点$(x,\ y)$を求めなさい．
国立 宮崎大学 2013年 第1問次の各問に答えよ．ただし，$\log x$は$x$の自然対数を表す．
(1)次の関数を微分せよ．
\[ (ⅰ) y=\frac{x}{e^x} \qquad (ⅱ) y=\log \left( \frac{2+\sin x}{2-\sin x} \right) \]
(2)次の定積分の値を求めよ．
(i) $\displaystyle \int_0^1 \frac{2x^2-x}{2x+1} \, dx$
(ii) $\displaystyle \int_0^{\frac{\sqrt{\pi}}{2}}x \cos (x^2) \, dx$
(iii) $\displaystyle \int_0^1 x^3 \log (x^2+1) \, dx$
\mon[$\tokeishi$] $\displaystyle \int_{-\pi}^\pi |e^{\cos x|\sin x} \, dx$
(1)次の関数を微分せよ．
\[ (ⅰ) y=\frac{x}{e^x} \qquad (ⅱ) y=\log \left( \frac{2+\sin x}{2-\sin x} \right) \]
(2)次の定積分の値を求めよ．
(i) $\displaystyle \int_0^1 \frac{2x^2-x}{2x+1} \, dx$
(ii) $\displaystyle \int_0^{\frac{\sqrt{\pi}}{2}}x \cos (x^2) \, dx$
(iii) $\displaystyle \int_0^1 x^3 \log (x^2+1) \, dx$
\mon[$\tokeishi$] $\displaystyle \int_{-\pi}^\pi |e^{\cos x|\sin x} \, dx$
私立 自治医科大学 2013年 第7問$10 \cos^2 \theta-24 \sin \theta \cos \theta-5=0$のとき，$|\tan \theta|$の値を求めよ．ただし，$\displaystyle \frac{\pi}{2}<\theta<\pi$とする．
私立 自治医科大学 2013年 第8問曲線$C:y=|x^2-9|-4x$と直線$L:y=k$（$k$は実数）が，すべて異なる$4$つの交点をもつとき，$k$のとりうる範囲は，$m<k<M$となる．$M-m$の値を求めよ．