方程式$7x+13y=1111$を満たす自然数$x,\ y$に対して，次の問いに答えよ．

(1)この方程式を満たす自然数の組$(x,\ y)$はいくつあるか求めよ．
(2)$s=-x+2y$とするとき，$s$の最大値と最小値を求めよ．
(3)$t=|2x-5y|$とするとき，$t$の最大値と最小値を求めよ．

方程式$7x+13y=1111$を満たす自然数$x,\ y$に対して，次の問いに答えよ．

(1)この方程式を満たす自然数の組$(x,\ y)$はいくつあるか求めよ．
(2)$s=-x+2y$とするとき，$s$の最大値と最小値を求めよ．
(3)$t=|2x-5y|$とするとき，$t$の最大値と最小値を求めよ．

連立不等式$\left\{ \begin{array}{l}
y \geqq |2x-3| \\
y \leqq x
\end{array} \right.$の表す領域を$D$とする．

(1)領域$D$を図示しなさい．
(2)$a$を$2$でない正の定数とする．点$(x,\ y)$が領域$D$内を動くとき，$ax+y$の最大値と最小値，およびそのときの点$(x,\ y)$を求めなさい．
(3)点$(x,\ y)$が領域$D$内を動くとき，$x^2+y^2$の最小値とそのときの点$(x,\ y)$を求めなさい．

実数全体で定義された関数$f(x)$，$g(x)$を次のように定める．
\[ f(x)=\int_0^{\frac{\pi}{4}} (\tan t-x)^2 \, dt,\quad g(x)=\int_0^{\frac{\pi}{4}} |\tan t-x| \, dt \]

(1)$\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{4}} \tan t \, dt$，$\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{4}} \tan^2 t \, dt$を求めよ．
(2)$f(x)$の最小値とそのときの$x$の値を求めよ．
(3)$g(x)$の最小値とそのときの$x$の値を求めよ．

$-2 \leqq x \leqq 2$上で関数$f(x),\ g(x)$を
\[ f(x)=\frac{1}{2}-\frac{1}{4}|x|,\quad g(x)=\int_{-2}^x f(t) \, dt \]
によって定める．

(1)$y=f(x)$のグラフの概形を描け．
(2)$g(x)$を計算し，$y=g(x)$のグラフの概形を描け．
(3)$y=g(x)$の逆関数$y=g^{-1}(x)$を求め，そのグラフの概形を描け．
(4)$\displaystyle \int_0^1 (g^{-1}(x))^2 \, dx$を計算せよ．
(5)$y=g^{-1}(x)$は$\displaystyle x=\frac{1}{2}$で微分可能であることを示せ．

$a$は$a>1$を満たす定数とし，$2$つの関数$f(x)$と$g(x)$を$f(x)=|x^2-a|$，$g(x)=-|x+1|+a$とする．

(1)$y=f(x)$のグラフの概形を書け．
(2)$y=g(x)$のグラフの概形を書け．
(3)$y=f(x)$と$y=g(x)$のグラフの交点が$2$個，$3$個，$4$個になるときの$a$の範囲または値をそれぞれ求めよ．

$x>0$の範囲で関数$f(x)$を，$\displaystyle f(x)=\int_0^2 (|t^2-2xt|+xt) \, dt$により定めるとき，以下の問いに答えよ．

(1)$0<x \leqq 1$のとき，$f(x)$を求めよ．
(2)$x$が$x>0$の範囲を動くとき，$f(x)$の最小値とそのときの$x$の値を求めよ．
(3)曲線$y=f(x)$と直線$y=4x+k$が異なる$2$点で交わるように，定数$k$の値の範囲を定めよ．

次の各問に答えよ．ただし，$\log x$は$x$の自然対数を表す．

(1)次の関数を微分せよ．
\[ (ⅰ) y=\frac{x}{e^x} \qquad (ⅱ) y=\log \left( \frac{2+\sin x}{2-\sin x} \right) \]
(2)次の定積分の値を求めよ．

(i) $\displaystyle \int_0^1 \frac{2x^2-x}{2x+1} \, dx$

(ii) $\displaystyle \int_0^{\frac{\sqrt{\pi}}{2}}x \cos (x^2) \, dx$

(iii) $\displaystyle \int_0^1 x^3 \log (x^2+1) \, dx$

\mon[$\tokeishi$] $\displaystyle \int_{-\pi}^\pi |e^{\cos x|\sin x} \, dx$

$x<1$に対して，$f(x)=|x| \log (1-x)$とおく．このとき，次の問いに答えよ．

(1)関数$y=f(x)$は$x=0$で微分可能かどうかを調べよ．
(2)関数$y=f(x)$のグラフと直線$y=-x$の交点を求めよ．
(3)不定積分$\displaystyle \int x \log (1-x) \, dx$を求めよ．
(4)$x \leqq 0$において関数$y=f(x)$のグラフと直線$y=-x$で囲まれた図形の面積$S$を求めよ．

関数$f(x)=\log (x^2-x+2) \ (0 \leqq x \leqq 1)$に対して，以下の問いに答えよ．ただし，対数は自然対数を表している．

(1)$y=f(x) \ (0 \leqq x \leqq 1)$の極値を求めよ．
(2)$x$についての方程式$\log (x^2-x+2)=x$は$\displaystyle \frac{1}{2}<x<1$の範囲に実数解をただ$1$つもつことを示せ．必要であれば，$\log 2<0.7$，$\log 7>1.9$であることを用いてよい．
(3)$y=f^\prime(x) \ (0 \leqq x \leqq 1)$の最大値と最小値を求めよ．
(4)平均値の定理を用いることで，$0 \leqq a<b \leqq 1$となる実数$a,\ b$に対して，$\displaystyle |f(b)-f(a)|<\frac{1}{2}|b-a|$となることを示せ．