座標平面上の点で，$x$座標と$y$座標がともに整数である点を格子点という．$n$を$3$以上の自然数とし，連立不等式
\[ x \geqq 0,\quad y \geqq 0,\quad x+y \leqq n \]
の表す領域を$D$とする．格子点$\mathrm{A}(a,\ b)$に対して，領域$D$内の格子点$\mathrm{B}(c,\ d)$が$|a-c|+|b-d|=1$を満たすとき，点$\mathrm{B}$を点$\mathrm{A}$の隣接点という．次の問いに答えよ．

(1)点$\mathrm{O}(0,\ 0)$の隣接点をすべて求めよ．また，領域$D$内の格子点$\mathrm{P}$が直線$x+y=n$上にあるとき，$\mathrm{P}$の隣接点の個数を求めよ．
(2)領域$D$内の格子点のうち隣接点の個数が$4$であるものの個数を求めよ．
(3)領域$D$から格子点を$1$つ選ぶとき，隣接点の個数の期待値が$3$以上となるような$n$の範囲を求めよ．ただし，格子点の選ばれ方は同様に確からしいものとする．

座標平面上の円$(x-1)^2+(y-1)^2=2$を$C$とする．以下の問いに答えよ．

(1)直線$y=x-2$は円$C$に接することを示せ．また，接点の座標も求めよ．
(2)円$C$と放物線$\displaystyle y=\frac{1}{4}x^2-1$の共有点の座標をすべて求めよ．
(3)不等式$\displaystyle y \geqq \frac{1}{4}x^2-1$の表す領域を$D$とする．また，不等式$|x|+|y| \leqq 2$の表す領域を$A$とし，不等式$(|x|-1)^2+(y-1)^2 \leqq 2$の表す領域を$B$とする．そして，和集合$A \cup B$，すなわち領域$A$と領域$B$を合わせた領域を$E$とする．このとき，領域$D$と領域$E$の共通部分$D \cap E$を図示し，さらに，その面積を求めよ．

$a,\ b$を正の整数とする．このとき，関数
\[ y=|x^2-ax+\displaystyle\frac{a^2|{2}-5} \]
のグラフと直線$y=b$との共有点を考える．

(1)共有点が$3$個になるような$(a,\ b)$の組をすべて求めよ．
(2)共有点が$1$個になるような$(a,\ b)$の組のうち，$b$が最小になるものを求めよ．

$2$つの曲線$C_1:y=|x^2-1|$，$C_2:y=m(x+1)^2 \ (0<m<1)$を考える．このとき，次の問いに答えよ．

(1)$x>0$の範囲における$C_1$と$C_2$の$2$つの交点の$x$座標を$\alpha,\ \beta \ (\alpha<\beta)$とする．$\alpha,\ \beta$を$m$を用いて表せ．
(2)$C_1$と$C_2$で囲まれた図形のうち，$x \leqq \alpha$を満たす部分の面積を$S_1$，$x \geqq \alpha$を満たす部分の面積を$S_2$とおく．$S_1,\ S_2$を，$m$を用いて表せ．
(3)$S_1=S_2$のとき$m$の値を求めよ．

$2$つの実数$a,\ b$は$|2a|-2<b<2$をみたしている．このとき，$x$の$4$次方程式
\[ x^4+ax^3+bx^2+ax+1=0 \cdots\cdots (*)\]
を考える．

(1)$x \neq 0$とする．$\displaystyle z=x+\frac{1}{x}$とおくとき，方程式$(*)$を$z$で表せ．
(2)(1)で求めた$z$の方程式の解は，すべて絶対値が$2$以下の実数であることを示せ．
(3)複素数$\alpha=p+qi$（$p,\ q$は実数）に対し，$\sqrt{p^2+q^2}$を複素数$\alpha$の「大きさ」ということにする．ただし$i$は虚数単位を表す．このとき，$4$次方程式$(*)$の解はすべて虚数で，それらの大きさはすべて$1$であることを示せ．

次の問いに答えよ．

(1)$|x-2|+|x+3|<6$を満たす実数$x$の値の範囲を求めよ．
(2)$a_1=1,\ a_2=2,\ a_{n+2}-2a_{n+1}+a_n=1$で定められる数列$\{a_n\}$の一般項$a_n$を求めよ．
(3)毎年$1$月の人口調査で，人口が前年の$98 \%$に減少していく都市がある．この都市の人口が，初めて今年の調査の$70 \%$以下になるのは何年後の調査のときか．ただし，$\log_{10}2=0.3010$，$\log_{10}7=0.8451$として，答えは整数で求めよ．
(4)直線$y=2x$と放物線$\displaystyle y=x^2+4x+\cos 2\theta+\frac{1}{2} \ (0 \leqq \theta \leqq 2\pi)$がある．放物線に直線が接するときの$\theta$の値を求めよ．

関数$f(x)$を次のとおりに定める．
\[ f(x)=\left\{ \begin{array}{ll}
e^{-\frac{1}{1-x^2}} & (|x|<1 \text{のとき}) \\
0 & (|x| \geqq 1 \text{のとき})
\end{array} \right. \]

(1)$\displaystyle \lim_{x \to 1-0}f(x)$，$\displaystyle \lim_{x \to -1+0}f(x)$を求めよ．
(2)$\displaystyle K=\int_{-1}^1 f(t) \, dt$，$\displaystyle F(x)=\frac{1}{K} \int_{-1}^x f(t) \, dt$とする．このとき，$F(0)$を求めよ．
(3)関数$y=F(x)$の増減を調べ，グラフの概形をかけ．
(4)関数$y=F(x)-F(0)$が奇関数であることを示せ．
(5)定積分$\displaystyle \int_{-1}^2 F(x) \, dx$を求めよ．

$|k|<1$または$k>1$を満たす実数$k$に対し，次の$2$次曲線$C(k)$を考える．
\[ C(k):\frac{x^2}{k+1}+\frac{y^2}{k-1}=1 \]
以下の問いに答えよ．

(1)点$(1,\ 1)$を通る曲線$C(k)$をすべて求めて，その概形をかけ．
(2)曲線$C(3)$が点$(a,\ b) \ (a>0,\ b>0)$を通るとき，$a$と$b$の間に成り立つ関係式を求めよ．またこのとき，点$(a,\ b)$を通る曲線$C(k) \ (k \neq 3)$の方程式を，$b$を用いて表し，その焦点を求めよ．
(3)(2)の$2$つの曲線$C(3)$，$C(k)$について，点$(a,\ b)$における$C(3)$，$C(k)$の接線をそれぞれ$\ell_1$，$\ell_2$とする．$\ell_1$と$\ell_2$のなす角度を求めよ．

$a>0$となる定数$a$に対して，関数$\displaystyle f(x)=\frac{1}{3}x^3-a^2x-\frac{2}{3}a^3$とする．次の問いに答えよ．

(1)$y=|f(x)|$のグラフの概形をかけ．
(2)$-1 \leqq x \leqq 1$における関数$|f(x)|$の最大値を求めよ．

$y=-x(x-a)$で与えられる放物線$C_1$と関数$y=a-|ax+b|$のグラフ$C_2$が原点で接している．ただし，実数$a$は正とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)$b$を$a$を用いて表せ．
(2)$a=2$のとき，$C_1$と$C_2$を図示せよ．
(3)(2)において$C_1$と$x$軸で囲まれた図形の面積と，$C_1$と$C_2$によって囲まれた図形の面積の比を求めよ．