不等式
\[ 1 \leqq \biggl| |x|-2 \biggr|+\biggl| |y|-2 \biggr| \leqq 3 \]
の表す領域を$xy$平面上に図示せよ．

$xy$平面において，点$(x_0,\ y_0)$と直線$ax+by+c=0$の距離は
\[ \frac{|ax_0+by_0+c|}{\sqrt{a^2+b^2}} \]
である．これを証明せよ．

曲線$y=x^2+x+4-|3x|$と直線$y=mx+4$で囲まれる部分の面積が最小となるように定数$m$の値を定めよ．

等式
\[ |x-3|+|y|=2(|x+3|+|y|) \]
を満たす$xy$平面上の点$(x,\ y)$からなる図形を$T$とする．

(1)点$(a,\ b)$が$T$上にあれば，点$(a,\ -b)$も$T$上にあることを示せ．
(2)$T$で囲まれる領域の面積を求めよ．

曲線$\displaystyle y=|x-\displaystyle\frac{1|{x}} \ (x>0)$と直線$y=2$で囲まれた領域の面積$S$を求めよ．

$xy$平面上の$2$点$\mathrm{P}_1(x_1,\ y_1)$，$\mathrm{P}_2(x_2,\ y_2)$に対して，$d(\mathrm{P}_1,\ \mathrm{P}_2)$を
\[ d(\mathrm{P}_1,\ \mathrm{P}_2)=|x_1-x_2|+|y_1-y_2| \]
で定義する．いま点$\mathrm{A}(3,\ 0)$と点$\mathrm{B}(-3,\ 0)$に対して，
\[ d(\mathrm{Q},\ \mathrm{A})=2d(\mathrm{Q},\ \mathrm{B}) \]
を満たす点$\mathrm{Q}$からなる図形を$T$とする．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)点$(a,\ b)$が$T$上にあれば，点$(a,\ -b)$も$T$上にあることを示せ．
(2)$T$で囲まれる領域の面積を求めよ．
(3)点$\mathrm{C}$の座標を$(13,\ 8)$とする．点$\mathrm{D}$が$T$上を動くとき，$d(\mathrm{D},\ \mathrm{C})$の最小値を求めよ．

座標平面上の点で，$x$座標と$y$座標がともに整数である点を格子点という．$n$を$3$以上の自然数とし，連立不等式
\[ x \geqq 0,\quad y \geqq 0,\quad x+y \leqq n \]
の表す領域を$D$とする．格子点$\mathrm{A}(a,\ b)$に対して，領域$D$内の格子点$\mathrm{B}(c,\ d)$が$|a-c|+|b-d|=1$を満たすとき，点$\mathrm{B}$を点$\mathrm{A}$の隣接点という．次の問いに答えよ．

(1)領域$D$内の格子点のうち隣接点の個数が$4$であるものの個数を求めよ．
(2)領域$D$から格子点を$1$つ選ぶとき，隣接点の個数の期待値が$3$以上となるような$n$の範囲を求めよ．ただし，格子点の選ばれ方は同様に確からしいものとする．
(3)領域$D$から異なる格子点を$2$つ選ぶとき，互いに隣接点である確率を求めよ．ただし，異なる格子点の選ばれ方は同様に確からしいものとする．

実数$x$に対して，関数$f(x)$を
\[ f(x)=|x^2-6x+5|-x^2+4x+5 \]
とおく．次の問いに答えよ．

(1)$y=f(x)$のグラフをかけ．
(2)$0 \leqq x \leqq 6$において，$f(x)$は$x=a$で最大値$f(a)$を，$x=b$で最小値$f(b)$をとる．$a,\ b$および$f(a),\ f(b)$を求めよ．
(3)$(2)$で求めた$a,\ b$について，定積分$\displaystyle \int_a^b f(x) \, dx$を求めよ．

$0 \leqq t \leqq 1$とする．関数$\displaystyle f(t)=\int_0^1 |\sqrt{x|-t} \, dx+t^2$について，次の問いに答えよ．

(1)$f(t)$を$t$の多項式で表せ．
(2)$f(t)$の最小値を求めよ．

赤色，緑色，青色のさいころが各$2$個ずつ，計$6$個ある．これらを同時にふるとき，

(1)赤色の$2$個のさいころの出た目の数$r_1,\ r_2$に対し$R=|r_1-r_2|$
(2)緑色の$2$個のさいころの出た目の数$g_1,\ g_2$に対し$G=|g_1-g_2|$
(3)青色の$2$個のさいころの出た目の数$b_1,\ b_2$に対し$B=|b_1-b_2|$

とする．次の問いに答えよ．

(4)$R$がとりうる値と，$R$がそれらの各値をとる確率をそれぞれ求めよ．
(5)$R \geqq 4,\ G \geqq 4,\ B \geqq 4$が同時に成り立つ確率を求めよ．
(6)$RGB \geqq 80$となる確率を求めよ．