$f(x)=|x^2-3x+2|$とする．曲線$y=f(x)$を$C$とし，曲線$C$上の点$\mathrm{A}(a,\ f(a))$における接線を$\ell$とする．ただし，$1<a<2$とする．以下の問いに答えよ．

(1)接線$\ell$の方程式を求めよ．
(2)曲線$C$と接線$\ell$の共有点のうち，接点$\mathrm{A}$とは異なる$2$つの点の$x$座標を$\alpha,\ \beta (\alpha<\beta)$とするとき，$\beta-\alpha$を$a$で表せ．
(3)曲線$C$と接線$\ell$で囲まれた部分の面積を$S$とするとき，$S$のとりうる値の範囲を求めよ．

$2$次関数$f(x)=ax^2+bx+c$（$a,\ b,\ c$は定数で$a \neq 0$とする）がある．$d$を正の数として，$f(0)=p$，$f(d)=q$，$f(2d)=r$とおく．

(1)$a,\ b,\ c$を$p,\ q,\ r,\ d$で表せ．
(2)$\displaystyle S_1=\int_0^{2d} f(x) \, dx$を$p,\ q,\ r,\ d$で表せ．
(3)$\displaystyle S_2=\int_0^{2d} |f(x)| \, dx$とおく．$p=1$，$q=0$，$r=3$および$d=1$のとき，$S_2-S_1$を求めよ．

次の空欄$[ア]$から$[ク]$にあてはまる数や式を書きなさい．

初項$2$，公差$3$の等差数列$\{a_n\}$と，初項$1$，公差$4$の等差数列$\{b_n\}$がある．このとき，それぞれの一般項を$n$を用いて表せば，
\[ a_n=[ア],\quad b_n=[イ] \]
である．
また，数列$\{a_n\}$と数列$\{b_n\}$に共通に含まれる項を順に並べると，次のような数列$\{c_n\}$が得られる．
\[ c_1=5,\quad c_2=[ウ],\quad c_3=[エ],\quad \cdots \]
したがって，数列$\{c_n\}$の一般項を$n$を用いて表せば，
\[ c_n=[オ] \]
となる．
また，数列$\{c_n\}$の第$p$項を$c_p$とするとき，数列$\{a_n\}$と数列$\{b_n\}$はともに項$c_p$を含む．よってそれぞれの項番号を自然数$p$を用いて表せば，数列$\{a_n\}$の場合は，
\[ n=[カ] \]
であり，数列$\{b_n\}$の場合は，
\[ n=[キ] \]
となる．よって，これらの項番号の差の絶対値を自然数$p$を用いて表せば，$[ク]$となる．

区間$-1 \leqq x \leqq 1$で定義された連続関数$f(x)$を
\[ 12xf(x)+12 \int_0^x f(t) \, dt=15x^3 |x|-16x^3,\quad f(0)=0 \]
によって定める．曲線$C:y=f(x)$を考える．以下の問いに答えよ．

(1)$f(x)$を求めよ．
(2)$f(x)$は$x=0$で微分可能であることを示せ．
(3)曲線$C$と直線$\ell:y=a$との区間$-1 \leqq x \leqq 1$における共有点の個数を，$a$の値によって分類せよ．
(4)曲線$C$と$3$直線$y=-1$，$x=-1$，$x=1$で囲まれる部分を，$x$軸の周りに$1$回転させてできる立体の体積を求めよ．

初項$3$，公比$2$の等比数列を$\{a_n\}$とし，
\[ S_n=\sum_{i=1}^n (\log_{a_i}2) \cdot (\log_{a_{i+1}}2) \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
とする．次の問いに答えよ．

(1)数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ．

(2)$\displaystyle \frac{1}{x(x+1)}=\frac{A}{x}+\frac{B}{x+1}$が$x$についての恒等式になる定数$A,\ B$を求めよ．

(3)$S_n<\log_32$となることを示せ．
(4)$\displaystyle |S_n-\log_32|<\frac{1}{1000}$となる最小の$n$を求めよ．

実数$t$を$0<t<1$とし，関数$f(x)=|x(x-t)|$に対して，以下の問に答えなさい．

(1)$a$を実数とする．$y=f(x)$のグラフを描き，直線$y=a$と$y=f(x)$の共有点の個数が$3$個になるときの$a$を$t$の式で表しなさい．また，このときの共有点の$x$座標を$t$の式で表しなさい．
(2)関数$\displaystyle g(t)=\int_0^1 |x(x-t)| \, dx$とするとき，$g(t)$を$t$の式で表しなさい．
(3)$g(t)$の最小値を求めなさい．

次の問いに答えなさい．

(1)不等式$|3x-1|+|x-2| \geqq 11$を解きなさい．
(2)$x>0$のとき，次の式の最小値，および最小値を与える$x$の値を求めなさい．
\[ 3x+1+\frac{4}{3x+1} \]
(3)$x,\ y$を正の実数とする．このとき次の不等式が成り立つことを証明しなさい．
\[ (x+y+1) \left( \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+1 \right) \geqq 9 \]

関数$f(x)$を
\[ f(x)=\int_0^2 \left( |t^2-xt|+\frac{1}{2}|t-2x| \right) \, dt \]
で定める．次の問いに答えよ．

(1)$f(x)$を求めよ．
(2)$f(x)$が最小値をとるときの$x$の値を求めよ．

関数$f(x)=e^{ax} \ (a>0)$と次の条件(ア)，(イ)を満たす関数$g(x)$がある．

\mon[(ア)] $y=g(x)$のグラフは半円
\[ \left\{
\begin{array}{l}
(x-p)^2+(y-q)^2=r^2 \\
y<q
\end{array}
\right. \]
である．ただし，$p<0,\ q>0,\ r>|p|$とする．
\mon[(イ)] $f(0)=g(0),\ f^\prime(0)=g^\prime(0),\ f^{\prime\prime}(0)=g^{\prime\prime}(0)$

次の問いに答えよ．

(1)$p,\ q,\ r$を$a$を用いて表せ．
(2)$a$がすべての正の実数を動くとき，$r$を最小にする$a$の値を求めよ．

空間ベクトル$\overrightarrow{a}=(1,\ 0,\ 0)$，$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{c}$，$\overrightarrow{d}$を考える．$|\overrightarrow{b}|=|\overrightarrow{c}|=|\overrightarrow{d}|=1$で，$\overrightarrow{b}$は$xy$平面上にあり，その$y$成分は正とする．また，$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}=p$とおく．

(1)$|p|<1$であることを示せ．また，$p$を用いて$\overrightarrow{b}$の成分表示を書け．
(2)$\overrightarrow{c}$と$\overrightarrow{d}$は相異であり，
\[ \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{c}=\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{d}=\overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{c}=\overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{d}=p \]
をみたすとする．$\overrightarrow{c}$の$z$成分が正のとき，$p$を用いて$\overrightarrow{c}$と$\overrightarrow{d}$の成分表示を書け．
(3)上の条件に加えて$\overrightarrow{c} \cdot \overrightarrow{d}=p$であるとき$p$の値を求めよ．