次の問いに答えなさい．

(1)$1$次関数$f(x)$のグラフは点$(2,\ 0)$を通る．また$f(x)$は$\displaystyle f(x)=2x+\int_0^k f(t) \, dt$をみたす．このとき，$k$の値を求めなさい．

(2)$a>0$とする．$\displaystyle \int_0^a f(x) \, dx=0$となるとき，$a$の値を求めなさい．

(3)$b>0$とする．$\displaystyle 3 \int_0^b |f(x)| \, dx=5 \int_0^b f(x) \, dx$が成り立つとき，$b$の値を求めなさい．

次の不等式を解きなさい．
\[ |\abs{x|-|x+1|}<\frac{1}{2} \]

不等式
\[ n^2+n+1 \leqq 3 |n+1| \]
を満たす整数$n$をすべて求めよ．

座標平面上に，始点が原点で終点の$y$座標が$1$に等しい$2$つのベクトル$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$がある．$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$のなす角度を$\theta (0^\circ \leqq \theta \leqq {180}^\circ)$とするとき，等式
\[ \sin \theta =\frac{|\overrightarrow{a|-\overrightarrow{b}}}{|\overrightarrow{a|} |\overrightarrow{b|}} \]
が成り立つことを示せ．

実数$t$に対して
\[ f(t)=\int_0^1 (3x^2+tx-2 |x^2-tx|) \, dx \]
とおく．$t$が実数全体を動くとき，$f(t)$の最大値と，最大値を与える$t$を求めよ．

$a,\ b$を実数とする．$2$次方程式$x^2+2ax+b=0$の$2$つの解を$\alpha,\ \beta$とする．重解の場合は$\alpha=\beta$と考える．次の問いに答えよ．

(1)$\alpha,\ \beta$が実数で，$|\alpha| \leqq 1$，$|\beta| \leqq 1$をみたすとき，点$(a,\ b)$の存在範囲を図示せよ．
(2)$\alpha$は虚数とし，$\alpha=p+qi$とおく．ただし，$p,\ q$は実数であり，$i$は虚数単位である．$p,\ q$が$p^2+q^2 \leqq 1$をみたすとき，点$(a,\ b)$の存在範囲を図示せよ．

$f(x)=x(x-2)-6 |x|$とするとき，以下の問いに答えなさい．

(1)$f(x)$の最小値を求めなさい．
(2)曲線$y=f(x)$上の点$\mathrm{A}(t,\ f(t)) (t>0)$を通る接線が曲線$y=f(x)$の$x<0$の部分と点$\mathrm{B}$で接しているとき，点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$の座標と接線の方程式を求めなさい．
(3)$(2)$において曲線$y=f(x)$と線分$\mathrm{AB}$で囲まれる部分の面積を求めなさい．

$\displaystyle f(x)=\int_x^{x+1} t \cdot |t| \, dt$とする．以下の問いに答えよ．

(1)$f(0)$と$f(-1)$を求めよ．
(2)$f^\prime(x)$を求めよ．
(3)$f(x)$を求めよ．
(4)座標平面において曲線$y=f(x)$と直線$y=f(-1)$で囲まれる部分のうち，$-2 \leqq x \leqq -1$の範囲の面積を$S_1$，$-1 \leqq x \leqq 0$の範囲の面積を$S_2$，$0 \leqq x \leqq 1$の範囲の面積を$S_3$とする．$S_1$，$S_2$，$S_3$を求めよ．

以下の問いに答えよ．

(1)関数$f(x)=|x|$が$x=0$において微分可能でないことを微分の定義に基づいて示せ．
(2)$y=x |x|$のグラフの概形を描け．
(3)$m$は自然数とする．関数$g(x)=x^m |x|$が$x=0$において微分可能であるか微分可能でないかを理由をつけて答えよ．

$f(x)=x^4-2x^3+2x+4$，$g(x)=-1-3 \sqrt{|x-1|}$とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)関数$y=f(x)$のグラフの概形を描け．ただし，変曲点に留意しなくてよい．
(2)$2$つの曲線$y=f(x)$と$y=g(x)$，および$2$つの直線$x=-1$と$x=2$で囲まれた図形を$x$軸の周りに$1$回転させてできる立体の体積$V$を求めよ．