次の問いに答えよ．

(1)${2}^{314}$は$[ア][イ]$桁の整数で，最高位の数は$[ウ]$である．ただし，最高位の数とは，例えば$5279$の場合は$5$を指す．また，$\log_{10}2$を$0.3010$，$\log_{10}3$を$0.4771$とする．
(2)図のような格子状の道路網がある．点$\mathrm{A}$から点$\mathrm{B}$まで最短経路で行く方法は$[エ][オ][カ]$通りある．また，点$\mathrm{A}$から線分$\mathrm{PQ}$を通らないで点$\mathrm{B}$まで最短経路で行く方法は$[キ][ク]$通りある．
（図は省略）
(3)$\mathrm{AB}=5$，$\mathrm{AC}=6$，$\mathrm{BC}=7$である$\triangle \mathrm{ABC}$の内接円の半径は$\displaystyle \frac{[ケ] \sqrt{[コ]}}{[サ]}$である．
(4)公比が負の数である等比数列がある．初項から第$4$項までの和は$\displaystyle \frac{75}{16}$，第$3$項と第$4$項の和は$\displaystyle \frac{27}{16}$である．この等比数列の初項は$[シ][ス]$で，公比は$\displaystyle \frac{[セ][ソ]}{[タ]}$である．
(5)条件$1 \leqq a \leqq 5$，$0 \leqq b<a$，$|c| \leqq b$を満たす整数の組$(a,\ b,\ c)$は全部で$[チ][ツ]$通りある．
(6)連立不等式
\[ |2x^2-8x+6| \leqq \frac{9}{8},\qquad x^3-6x^2+12x-8 \geqq 0 \]
の解は$\displaystyle \frac{[テ]+\sqrt{[ト]}}{[ナ]} \leqq x \leqq \frac{[ニ][ヌ]}{[ネ]}$である．

実数$t$に対して$\displaystyle f(t)=\frac{t+|t|}{2}$とおく．このとき座標平面において不等式
\[ \frac{1}{4}x^2-1 \leqq y \leqq f(2-x^2) \]
が表す領域を図示し，その面積を求めよ．

次の問いに答えよ．

(1)関数$f(x)$を
\[ f(x)=\int_0^1 |(x-1)(x-t)| \, dt \]
とする．
$x \leqq [ア]$，$x \geqq [イ]$のとき，
\[ f(x)=[ウ]x^2+\frac{[エ]}{[オ]}x+\frac{[カ]}{[キ]} \]
$[ア]<x<[イ]$のとき，
\[ f(x)=[ク]x^3+[ケ]x^2+\frac{[コ]}{[サ]}x+\frac{[シ]}{[ス]} \]
である．また，関数$f(x)$は$x=[セ]$のとき，最小値$[ソ]$をとる．
(2)自然数$m,\ n$が
\[ \frac{1}{m}+\frac{1}{n}<\frac{1}{3} \]
を満たすとき，$\displaystyle \frac{1}{m}+\frac{1}{n}$の最大値は$\displaystyle \frac{[タ]}{[チ]}$である．

$a \geqq 0$とし
\[ S(a)=\int_0^1 |x^2+2ax+a^2-1| \, dx \]
とおく．

(1)$\displaystyle a=\frac{1}{2}$のとき$\displaystyle S(a)=\frac{[ホ]}{[マ]}$である．
(2)等式
\[ S(a)=\int_0^1 (x^2+2ax+a^2-1) \, dx \]
が成り立つ$a$の範囲は$a \geqq [ミ]$である．
(3)$a \geqq [ミ]$のとき
\[ S(a)=[ム]a^2+[メ]a+\frac{[モ]}{[ヤ]} \]
であり，$0 \leqq a<[ミ]$のとき
\[ S(a)=\frac{[ユ]}{[ヨ]}a^3+[ラ]a^2+[リ]a+\frac{[ル]}{[レ]} \]
である．
(4)$S(a)$は$\displaystyle a=\frac{[ロ]+\sqrt{[ワ]}}{[ヲ]}$のとき最小値をとる．

次の問いに答えよ．

(1)$3^{2014}$は$[ア]$桁の数であり，最も大きい位の数字は$[イ]$，一の位の数字は$[ウ]$である．ただし，
\[ \log_{10}2=0.3010,\quad \log_{10}3=0.4771,\quad \log_{10}7=0.8451 \]
とする．
(2)連立不等式
\[ \left\{ \begin{array}{l}
y \leqq -2x^2-8x-3 \\
y \geqq |3x+6| \phantom{\frac{[　]}{2}}
\end{array} \right. \]
で表される座標平面上の領域を$D$とする．

(i) $D$の面積は$\displaystyle \frac{[エ]}{[オ]}$である．
(ii) 点$(x,\ y)$が$D$を動くとする．

\mon[$\mathrm{(a)}$] $4x+y$の最大値は$[カ]$，最小値は$[キ]$である．
\mon[$\mathrm{(b)}$] $x^2+4x+y$の最大値は$[ク]$，最小値は$[ケ]$である．

次の問に答えよ．

(1)不等式$x^2+y^2-6x-4y \leqq -9$を満たす点$(x,\ y)$全体の集合を$xy$平面上に図示せよ．
(2)関数$y=e^x-e^{-x}$のグラフに接する，傾きが$4$である接線の方程式を求めよ．
(3)定積分$\displaystyle \int_{e^{-1}}^e |\log x| \, dx$の値を求めよ．ただし，$\log$は自然対数である．

次の問に答えよ．

(1)ベクトル$\overrightarrow{a}=(1,\ 7)$とのなす角が${60}^\circ$である長さ$\sqrt{2}$のベクトルをすべて求めよ．
(2)不等式$|x-2|>2x-1$を解け．
(3)$y=x^2$のグラフの$x=k$における接線が$y=-x^2+4x-3$のグラフに接している．このとき，$k$の値を求めよ．

$a>0$とする．関数$f(x)$と$g(x)$を
\[ f(x)=-x^2,\quad g(x)=x^2-2ax \]
とおく．以下の問に答えよ．

(1)$a=1$のとき，$2$つの放物線$y=f(x)$，$y=g(x)$で囲まれた図形の面積を求めよ．
(2)関数$F(x)$を
\[ F(x)=\int_0^x \{f(t)-g(t)\} \, dt \]
で定義する．$F(x)$を$a$を用いて表せ．
(3)$a$の関数$S(a)$を
\[ S(a)=\int_0^1 |f(x)-g(x)| \, dx \]
で定義する．$S(a)$の最小値を求めよ．

次の$2$つの不等式をともに満たす領域を図示せよ．
\[ \left\{ \begin{array}{l}
|x+y|<8 \\
|2x-3y|>6 \phantom{\frac{[　]}{2}}
\end{array} \right. \]

$(1)$～$(5)$の空欄にあてはまる言葉を，次の$1$～$4$から選べ．

\mon[$1$] 必要条件であるが，十分条件ではない．
\mon[$2$] 十分条件であるが，必要条件ではない．
\mon[$3$] 必要十分条件である．
\mon[$4$] 必要条件でも十分条件でもない．


(1)$\triangle \mathrm{ABC}$と$\triangle \mathrm{PQR}$の面積が等しいことは，$\triangle \mathrm{ABC}$と$\triangle \mathrm{PQR}$が相似であるための$[ア]$
(2)整数$a,\ b$がともに奇数であることは，$ab$が奇数であるための$[イ]$
(3)$A \cap B \neq \phi$である集合$A,\ B$について，$x \in \overline{\overline{A} \cap \overline{B}}$であることは，$x \in A \cap B$であるための$[ウ]$
(4)$\overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}}>0$であることは，$\triangle \mathrm{ABC}$が鋭角三角形であるための$[エ]$
(5)$|x|+|y| \leqq 1$は，$|x+y| \leqq 1$であるための$[オ]$