次の各問に答えよ．

(1)$\displaystyle a=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{\sqrt{6}-\sqrt{2}},\ b=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{\sqrt{6}+\sqrt{2}}$のとき，$a^2+4ab+b^2$および$a^3+2a^2b+2ab^2+b^3$の値を求めよ．
(2)不等式$3-2x \leqq |3x-2|<10+x$を解け．
(3)数直線上の集合$A=\{x | -a-1<x<a^2\},\ B=\{x | -2 \leqq x \leqq 3\}$において，$A \subset B$となるような$a$の値の範囲を求めよ．

$f(x)=|x+1|-|x^2+x|$とする．次の問に答えよ．

(1)関数$y=f(x)$のグラフをかけ．
(2)関数$y=f(x) (-2 \leqq x \leqq 2)$の最大値および最小値を求めよ．
(3)定数$a$を$0 \leqq a \leqq 2$とするとき，方程式$f(x)=a$の解を求めよ．

次の各問に答えよ．

(1)数列$\{a_n\} (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$が$\displaystyle a_n=\int_0^1 x^2{(1-x)}^{n} \, dx$により与えられている．次の問に答えよ．
$(1$-$1)$ 数列$\{a_n\}$の一般項$a_n$を$n$を用いて表せ．
$(1$-$2)$ $\displaystyle \sum_{n=1}^\infty (n+c)(a_n-a_{n+1})=2$となる実数$c$の値を求めよ．
(2)$|2x+y|+|2x-y|=2$のグラフを図示せよ．

次の問いに答えよ．

(1)$(xz+y)^2-(x+yz)^2$を因数分解せよ．
(2)$\triangle \mathrm{ABC}$において，$\angle \mathrm{C}={60}^\circ$，$\displaystyle \sin B=\frac{1}{3}$，$\mathrm{AB}=6$のとき，$\mathrm{AC}$を求めよ．
(3)正十五角形の内角の和を求めよ．
(4)不等式$|x^2-7x|<x-4$を解け．

$f(x)=|x^2-8x+12|$について，次の問いに答えよ．

(1)$f(x)=4$のとき，$x$の値を求めよ．
(2)$3 \leqq x \leqq 7$のとき，$f(x)$の最大値を求めよ．
(3)$t \leqq x \leqq t+1$のとき，$f(x)$の最大値が$4$となるような$t$の値の範囲を求めよ．

関数$f(x)=2x+\cos x$がある．$xy$平面上の曲線$y=f(x)$の$\displaystyle 0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{2}$の部分を$C$とし，$C$と直線$y=2x$，および直線$x+2y=2$で囲まれた領域を$D$とする．領域$D$を直線$y=2x$の周りに$1$回転してできる立体の体積を求めよう．
（図は省略）

$C$上の点$\mathrm{P}(t,\ f(t))$から直線$y=2x$に下ろした垂線と直線$y=2x$との交点を$\mathrm{Q}$とする．
線分$\mathrm{PQ}$の長さは
\[ \frac{|\cos t|}{\sqrt{[ア]}} \]
であり，点$\mathrm{Q}$の$x$座標は
\[ t+\frac{[イ]}{[ウ]} \cos t \]
である．これから，$\mathrm{OQ}=s$とおくと
\[ s=\sqrt{[エ]} \left( t+\frac{[イ]}{[ウ]} \cos t \right) \]
である．
$f^\prime(x)=2-\sin x>0$なので$f(x)$は増加する．よって，求める体積$V$は

$\displaystyle V=\int_{\frac{2 \sqrt{5}}{5}}^{\frac{\sqrt{5} \pi}{2}} \pi \mathrm{PQ}^2 \, ds$

$\displaystyle \quad\, =\frac{\sqrt{[オ]} \pi}{[カ]} \int_0^{\frac{\pi}{2}} \left( \cos^2 t-\frac{[キ]}{[ク]} \cos^2 t \sin t \right) \, dt$

$\displaystyle \quad\, =\frac{\sqrt{[ケ]} \pi^2}{[コサ]}-\frac{[シ] \sqrt{[ス]} \pi}{[セソ]}$
である．

$x$の$2$次関数$y=x^2-(2a^2-4a)x+a^4-4a^3+3a^2+1$のグラフについて，次の問いに答えよ．ただし，$a$は$0<a<2$を満たす実数とする．

(1)頂点の座標を求めよ．
(2)頂点が直線$y=-x$上にあるような$a$の値を求めよ．
(3)原点と頂点を通る直線の傾きの絶対値が$1$以上となるような$a$の値の範囲を求めよ．

$a$を定数とする．直線$\ell:y=6ax$，曲線$C:y=|3x^2-6x|$について，次の問いに答えよ．

(1)$\ell$と$C$の共有点が$3$個になるような$a$の範囲を求めよ．
(2)$\displaystyle a=\frac{1}{2}$とし，$\ell$と$C$の共有点の$x$座標を小さい順に$x_1,\ x_2,\ x_3$とする．このとき，$\ell$と$C$で囲まれた部分のうち$x$座標が$x_2$以上の部分の面積を求めよ．

次の各問いに答えよ．

(1)不等式$|3x-5|<x+4$を満たす整数解を求めよ．
(2)式$(\cos {15}^\circ+\sin {15}^\circ)^2+(\cos {15}^\circ-\sin {15}^\circ)^2$の値を求めよ．
(3)$2 \leqq x \leqq 3$，$3 \leqq y \leqq 4$のとき，$1+xy-x-y$の最大値と最小値を求めよ．

関数$f(x)=|x^2-1|-2x$について，以下の問いに答えよ．

(1)関数$y=f(x)$のグラフをかけ．
(2)$-2 \leqq x \leqq 2$のとき，関数$f(x)$の最小値とそのときの$x$の値を求めよ．
(3)定積分$\displaystyle \int_{-2}^2 f(x) \, dx$の値を求めよ．