条件$a_1=0$，$a_{n+1}=4a_n+3 (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$によって定められる数列$\{a_n\}$がある．関数$f_n(x)$と$g(x)$が
\[ \begin{array}{l}
f_n(x)=a_nx^2+a_n+1 \\
g(x)=x^3+3x^2-9x+4 \phantom{\displaystyle\frac{[　]}{2}}
\end{array} \]
で定義されるとき，次の問いに答えよ．

(1)数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ．また，$\displaystyle \sum_{k=1}^n a_k$を求めよ．
(2)関数$y=|f_2(x)-g(x)|$のグラフをかけ．また，$-3 \leqq x \leqq 3$の範囲で$y$の値の最大値とそのときの$x$の値を求めよ．

関数$\displaystyle f(x)=\frac{3 \sqrt{3}}{\sin x}-\frac{1}{\cos x} \left( 0<|x|<\frac{\pi}{2} \right)$を考える．以下の問いに答えよ．

(1)$y=f(x)$の増減表を作成し，極値を求めよ．
(2)$f(x)$の第$2$次導関数$f^{\prime\prime}(x)$は，$3$次式$P(t)=t(2t^2-1)$を用いて，
\[ f^{\prime\prime}(x)=3 \sqrt{3} P \left( \frac{1}{\sin x} \right)-P \left( \frac{1}{\cos x} \right) \]
と表されることを示せ．また，$\displaystyle 0<x_1<x_2<\frac{\pi}{2}$のとき$f^{\prime\prime}(x_1)>f^{\prime\prime}(x_2)$となることを示せ．
(3)$k$を定数とするとき，方程式$f(x)=k$の異なる実数解は何個あるか．$k$の値によって分類せよ．
(4)$y=f(x)$の変曲点はただ$1$つ存在することを示せ．また，この変曲点が第何象限にあるか，調べよ．

関数$f(x)$を$\displaystyle f(x)=\int_0^{\frac{\pi}{2}} |x-2t| \sin t \, dt$で定める（$0 \leqq x \leqq \pi$）．次の問に答えよ．

(1)次の不定積分を求めよ．ただし，$a>0$とする．
\[ \int t \sin at \, dt,\quad \int \sin^2 \frac{t}{2} \, dt \]
(2)$f(x)$の最小値を求め，そのときの$x$の値を求めよ．
(3)曲線$y=f(x)-f(0)$と$x$軸および直線$x=\pi$で囲まれた図形を$x$軸のまわりに回転して得られる回転体の体積$V$を求めよ．

次の定積分を求めよ．

(1)$\displaystyle \int_0^2 |e^x-e| \, dx$

(2)$\displaystyle \int_1^e \frac{\log x}{x^2} \, dx$

関数
\[ f(x)=\int_0^x |(t-1)(t-2)| \, dt-|\int_0^x (t-1)(t-2) \, dt| \]
に対して，$y=f(x) (x>0)$のグラフをかきなさい．ただし，グラフの凹凸は調べなくてよい．

関数
\[ f(x)=\int_0^x |(t-1)(t-2)| \, dt-|\int_0^x (t-1)(t-2) \, dt| \]
に対して，$y=f(x) (x>0)$のグラフをかきなさい．ただし，グラフの凹凸は調べなくてよい．

関数$f(x)$を$\displaystyle f(x)=\frac{k}{x+1}-1$と定める．ただし，$k$は正の定数である．このとき，次の問いに答えよ．

(1)$y=f(x)$のグラフが$x$軸と交わる点の$x$座標を$k$を用いて表せ．
(2)$\displaystyle S=\int_0^2 |f(x)| \, dx$を求めよ．
(3)$(2)$における$S$を最小にする$k$と，そのときの$S$の値を求めよ．

$x$の$2$次方程式$(*) x^2-2ax+2ab-b^2=0$について，以下の問いに答えよ．ただし，$a,\ b$は実数とする．

(1)$(*)$は実数解のみをもつことを証明せよ．
(2)$1$個のさいころを$2$回投げて出た目の数を順に$a,\ b$とする．この$a,\ b$に対して$(*)$を考え，

「$(*)$は符号の異なる$2$つの解をもつ」という事象を$A$，
「$(*)$の$2$つの解の差の絶対値は$6$以下である」という事象を$B$

とする．ただし，$(*)$が重解をもつときは$(*)$の$2$つの解の差は$0$と考える．このとき，事象$A,\ B$および和事象$A \cup B$の確率$P(A)$，$P(B)$および$P(A \cup B)$をそれぞれ求めよ．

$p$を正の実数とする．関数
\[ f(x)=\int_{-1}^x \{p-\log (1+|t|)\} \, dt \]
について，次の問いに答えよ．ただし，対数は自然対数とする．

(1)$f(x)$の極値を求めよ．
(2)$xy$平面の曲線$y=f(x)$が$x$軸の正の部分と$2$点で交わるような，$p$の値の範囲を求めよ．

$t,\ x$は実数とする．関数$f(t)$を$f(t)=2 |t-1|+t+1$と定義し，$\displaystyle F(x)=\int_0^x f(t) \, dt$とおく．

(1)関数$y=f(t)$のグラフをかけ．
(2)関数$F(x)$を求めよ．
(3)曲線$y=F(x)$上の点$(0,\ F(0))$における接線$\ell$の方程式を求めよ．
(4)曲線$y=F(x)$と$(3)$で求めた接線$\ell$とで囲まれた図形の面積を求めよ．