座標平面上の曲線$y=|x^2+2x|$を$C$とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)曲線$C$と直線$y=x+2$の共有点の座標を求めよ．
(2)曲線$C$と直線$y=x+2$で囲まれた部分の面積を求めよ．
(3)曲線$C$と直線$y=x+a$がちょうど$2$つの共有点をもつような実数$a$の値の範囲を求めよ．

関数$\displaystyle f(x)=\int_x^{x+1} |\log(2-t)| \, dt (0<x<1)$について，次の問いに答えよ．ただし，対数は自然対数である．

(1)$f(x)$の導関数を求めよ．
(2)$f(x)$を最小にする$x$の値を求めよ．

関数$\displaystyle f(x)=\frac{\log x}{\sqrt{x}} (x>0)$について，次の問いに答えよ．ただし，$\log x$は$x$の自然対数，$e$は自然対数の底とする．

(1)極限$\displaystyle \lim_{x \to +0}f(x)$を求めよ．
(2)$y=f(x)$の極値を求めよ．
(3)曲線$y=|f(x)|$と$x$軸および$2$直線$\displaystyle x=\frac{1}{e}$，$x=e$で囲まれた図形を$x$軸のまわりに$1$回転してできる立体の体積を求めよ．

関数$f(x)$を$\displaystyle f(x)=-7+k \int_0^6 |x-u| \, du$と定義する．ただし，$k$は定数，$f(3)=-5$である．次の各問に答えなさい．

(1)$k$の値を求めなさい．
(2)$y=f(x)$のグラフの概形を図示しなさい．
(3)実数$s,\ t$が条件$0 \leqq s \leqq 20$，$0 \leqq t \leqq 20$を満たしながら動くとき，$xy$座標平面上の点
\[ \mathrm{P} \left( \frac{1}{2}s+\frac{1}{10}t,\ -\frac{1}{4}s-\frac{1}{5}t \right) \]
が動く領域$D$を求めなさい．
(4)不等式$y \geqq f(x)$の表す領域を$E$とするとき，領域$E$と領域$D$の共通部分の面積を求めなさい．

$a_n=-2n+212$で定められる数列$\{a_n\}$を次のような群に分け，第$k$群には$k$個の項が入るようにする．

\quad $a_1 \qquad | \ a_2,\ a_3 \ | \ a_4,\ a_5,\ a_6 \ | \ a_7,\ a_8,\ a_9,\ a_{10} \ | \ \cdots$
第$1$群 \quad 第$2$群 \qquad 第$3$群 \qquad\quad 第$4$群

第$k$群に含まれるすべての項の和を$S_k$とするとき，次の問いに答えよ．

(1)$S_k$を求めよ．
(2)$S_k$が最大となる群に含まれる項の平均値を求めよ．
(3)$|S_k|=|S_{k+1|}$を満たす$k$を求めよ．

$a$を定数とする．$a_n=-2n+a$で定められる数列$\{a_n\}$を次のような群に分け，第$k$群には$k$個の項が入るようにする．

\quad $a_1 \qquad | \ a_2,\ a_3 \ | \ a_4,\ a_5,\ a_6 \ | \ a_7,\ a_8,\ a_9,\ a_{10} \ | \ \cdots$
第$1$群 \quad 第$2$群 \qquad 第$3$群 \qquad\quad 第$4$群

第$k$群に含まれるすべての項の和を$S_k$とするとき，次の問いに答えよ．

(1)$S_k$を求めよ．
(2)$a=212$のとき，$S_k$が最大となる群に含まれる項の平均値を求めよ．
(3)$a=92$のとき，$|S_k|=|S_{k+1|}$を満たす$k$を求めよ．

$a$を正の定数とする．関数$f(x)$は
\[ f(x)=2 \cos x-a \int_0^{\frac{\pi}{2}} f(t) \sin x \, dt \]
を満たしているとする．次の問いに答えよ．

(1)$f(x)$を求めよ．
(2)$\displaystyle \int_0^{\pi} f(x) \sin x \, dx=-\frac{\pi}{2}$を満たす定数$a$の値を求めよ．
(3)$a$が$(2)$で求めた値のとき，次の$(ⅰ)$，$(ⅱ)$に答えよ．

(i) $0 \leqq x \leqq \pi$における関数$f(x)$の最大値と最小値を求めよ．
(ii) $\displaystyle \int_0^{\pi} |f(x)| \, dx$の値を求めよ．

数列$\{a_n\},\ \{b_n\}$を，
\[ \left\{ \begin{array}{lll}
a_1=1, & a_{n+1}=\sqrt{2b_n+1} & (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \\
b_1=3, & b_{n+1}=\sqrt{2a_n+1} & (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \phantom{\frac{[　]}{2}}
\end{array} \right. \]
と定めるとき，次の問いに答えよ．

(1)$\alpha=1+\sqrt{2}$とする．自然数$n$に対して，不等式$|a_{n+1|-\alpha} \leqq \left( \displaystyle \frac{2}{1+\alpha} \right) |b_n-\alpha|$が成り立つことを示せ．
(2)極限値$\displaystyle \lim_{n \to \infty} a_n$，$\displaystyle \lim_{n \to \infty} b_n$を求めよ．

次の問いに答えよ．

(1)$a+b+c+d=10$を満たす自然数$a,\ b,\ c,\ d$の組の総数を求めよ．
(2)$|a|+|b|+|c|+|d|=10$を満たし，どれも$0$とはならない整数$a,\ b,\ c,\ d$の組の総数を求めよ．
(3)$|a|+|b|+|c|+|d|=10$を満たす整数$a,\ b,\ c,\ d$の組の総数を求めよ．

関数$f(x)=4 \sin x+2 \cos 2x+1 (0 \leqq x \leqq 2\pi)$について，以下の問いに答えよ．

(1)$f(x)$の極値を求めよ．
(2)定積分$\displaystyle \int_0^{2\pi} f(x) \, dx$を求めよ．
(3)定積分$\displaystyle \int_0^{2\pi} |f(x)| \, dx$を求めよ．