関数$\displaystyle f(x)=\frac{2ax}{x^2-ax+1}$（$|a|<2$，$a$は実数）の最大値が$2$となるとき，$a$のとる値は，$p$と$q$の$2$つ存在する．$|p-q|$の値を求めよ．

次の方程式を解け．
\[ x^2+5 |x|-6=0 \]

関数$f(x)=|x^2-2x-3|-x$について，以下の問いに答えよ．

(1)$y=f(x)$のグラフと$x$軸との共有点の$x$座標をすべて求めよ．
(2)関数$f(x)$の$0 \leqq x \leqq 4$における最大値および最小値を求めよ．

方程式$y=|x|$を満たす座標平面上の点$(x,\ y)$全体の集合$B$を

$B=\{(x,\ y) \;\bigl| \;$点$(x,\ y)$は方程式$y=|x|$を満たす$\}$

と表す．同様に，集合$C_r(a,\ b)$，$D$をそれぞれ

$C_r(a,\ b)=\{(x,\ y) \;\bigl| \;$点$(x,\ y)$は方程式$(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$を満たす$\}$，
\qquad\quad\;\! $D=\{(x,\ y) \;\bigl| \;$点$(x,\ y)$は不等式$y \leqq |x|$を満たす$\}$

で定める．ただし，$a,\ b$は実数，$r$は正の実数とする．

(1)集合$B \cap C_r(1,\ 2)$が$2$個の要素からなるように，$r$の値の範囲を定めよ．
(2)$C_{2 \sqrt{2}}(a,\ b) \subset D$が成り立つような点$(a,\ b)$全体の集合を斜線で図示せよ．

次の問いに答えよ．

(1)関数$f(x)=|\abs{x^2-3|-1} (x \geqq 0)$を考える．

(i) $f(x)=0$となるのは$x=\sqrt{[ア]}$または$x=[イ]$のときである．ただし，$\sqrt{[ア]}<[イ]$とする．
(ii) 関数$f(x)$は区間$\sqrt{[ア]} \leqq x \leqq [イ]$において，$x=\sqrt{[ウ]}$で極大値$[エ]$をとる．
(iii) $\displaystyle \int_0^2 \frac{3}{8}f(x) \, dx=[オ]+\sqrt{[カ]}+\frac{[キ]}{[ク]} \sqrt{[ケ]}$である．

(2)関数$g(x)$を
\[ g(x)=2^{3x+2}-3(1+\sqrt{2}) \cdot 4^x+3 \cdot 2^{x+\frac{1}{2}} \]
で定める．$g(x)$は，
$x=[コ]$で極大値$\displaystyle \frac{[サ]}{[シ]}+\frac{[ス]}{[セ]} \sqrt{[ソ]}$，

$\displaystyle x=\frac{[タ]}{[チ]}$で極小値$\displaystyle \frac{[ツ]}{[テ]}+\frac{[ト]}{[ナ]} \sqrt{[ニ]}$

をとる．

実数$a,\ b$に対して，$f(x)=x^2+ax+b$とする．次の問いに答えよ．

(1)$-1 \leqq x \leqq 1$における$f(x)$の最大値を$M$，最小値を$m$とする．

\mon[$\mathrm{(a)}$] $M,\ m$をそれぞれ以下の場合に分けて$a,\ b$を用いて表せ．

(i) $a \leqq -2$
(ii) $-2<a<2$
(iii) $2 \leqq a$

\mon[$\mathrm{(b)}$] $M-m$が最小となるような$a$の値を求め，さらにそのときの$M-m$の値を求めよ．

(2)$-1 \leqq x \leqq 1$における$|f(x)|$の最大値が最小となるような$a,\ b$の値を求め，さらにそのときの$|f(x)|$の最大値を求めよ．

定数$a$に対し，
\[ f(x)=a \sin 2x-\tan x \quad \left( 0 \leqq x<\frac{\pi}{2} \right) \]
とおく．

(1)$\displaystyle a>\frac{1}{2}$であるとする．実数$\theta$を，$\displaystyle 0<\theta<\frac{\pi}{2}$かつ$f(\theta)=0$を満たすものとするとき，$\cos \theta$を$a$を用いて表せ．
(2)不定積分
\[ \int f(x) \, dx \]
を求めよ．
(3)$\displaystyle \frac{1}{2}<a<1$であるとする．このとき，
\[ \int_0^{\frac{\pi}{4}} |f(x)| \, dx+\log a \]
を$a$の$1$次式で表せ．ただし，$\log$は自然対数を表す．

関数$F(x),\ G(x),\ H(x)$を

$\displaystyle F(x)=\int_0^1 \left( \frac{x}{3}-t \right)e^{-2t} \, dt \quad (x>0)$

$\displaystyle G(x)=\int_0^x \left( \frac{x}{3}-t \right)e^{-2t} \, dt \quad (x>0)$

$\displaystyle H(x)=\int_0^x |\displaystyle\frac{x|{3}-t }e^{-2t} \, dt \quad (x>0)$

と定める．ここで，$e$は自然対数の底である．$F(x)$，$G(x)$，$H(x)$は次のように書き表される．

$\displaystyle F(x)=\left( \frac{\mkakko{ア}}{\mkakko{イ}}-\frac{\mkakko{ウ}}{\mkakko{エ}}e^{-\mkakko{オ}} \right)x+\left( -\frac{\mkakko{カ}}{\mkakko{キ}}+\frac{\mkakko{ク}}{\mkakko{ケ}}e^{-\mkakko{コ}} \right)$

$\displaystyle G(x)=\left( \frac{\mkakko{サ}}{\mkakko{シ}}x+\frac{\mkakko{ス}}{\mkakko{セ}} \right) e^{-\mkakko{ソ}x}+\left( \frac{\mkakko{タ}}{\mkakko{チ}}x-\frac{\mkakko{ツ}}{\mkakko{テ}} \right)$

$\displaystyle H(x)=-\left( \frac{\mkakko{ト}}{\mkakko{ナ}}x+\frac{\mkakko{ニ}}{\mkakko{ヌ}} \right) e^{-\mkakko{ネ}x}+\frac{\mkakko{ノ}}{\mkakko{ハ}}e^{-\frac{\mkakko{ヒ}}{\mkakko{フ}}x}+\left( \frac{\mkakko{ヘ}}{\mkakko{ホ}}x-\frac{\mkakko{マ}}{\mkakko{ミ}} \right)$

次の$[　]$内にあてはまる$0$から$9$までの数字を求めよ．

(1)座標平面上の円$C:(x-2)^2+(y-1)^2=5$に対して以下が成り立つ．

(i) $C$上の点で，その点における$C$の接線の傾きが$-2$となる点は$([ア],\ [イ])$と$([ウ],\ [エ])$である．（ただし，$[ア]<[ウ]$とする．）
(ii) 点$(x,\ y)$が$C$上を動くとき，$2x+y$の値は
$(x,\ y)=([オ],\ [カ])$のとき最大値$[キ][ク]$をとり，
$(x,\ y)=([ケ],\ [コ])$のとき最小値$[サ]$をとる．

(2)座標平面上で点$(x,\ y)$が$x^2-4 |x|+y^2-2 |y|=0$を満たしながら動くとき，$x^2+y^2$の値は$(x,\ y)=(0,\ 0)$のとき$0$になるが，それ以外の場合のとり得る値の範囲は
\[ [シ] \leqq x^2+y^2 \leqq [ス][セ] \]
である．
(3)座標平面上で$x^2-4 |x|+y^2-2 |y| \leqq 0$を満たす点$(x,\ y)$全体のなす領域を$S$とする．

(i) 点$(x,\ y)$が$S$上を動くとき，$x^2+y^2$のとり得る値の範囲は
\[ [ソ] \leqq x^2+y^2 \leqq [タ][チ] \]
である．
(ii) $S$の面積は$[ツ][テ]\pi+[ト][ナ]$である．

次の$[ア]$～$[ヒ]$にあてはまる$0$から$9$までの数字，および，$[あ]$にあてはまる$+$か$-$の符号を入れよ．

$p$を$3$で割り切れない整数とする．このとき，整数$a$と$b$に対し，

「$pa-b$が$3$の倍数ならば，$a-pb$も$3$の倍数になる．」

がわかる．これを認めて，$2$つの整数列$\{a_n\},\ \{b_n\}$を以下のように定める．$a_1=1$とし，$b_1$は$0$，$1$，$2$いずれかの数で$pa_1-b_1$が$3$の倍数になるようなものとし，$n=2,\ 3,\ \cdots$に対し，$a_n,\ b_n$を次のように定める．
\begin{itemize}
$\displaystyle a_n=\frac{1}{3}(a_{n-1}-pb_{n-1})$
$b_n$は，$0,\ 1,\ 2$いずれかの数で$pa_n-b_n$が$3$の倍数となるようなものとする．
\end{itemize}
このように定められた$2$つの整数列$\{a_n\},\ \{b_n\}$について，以下の各問いに答えよ．


(1)$p=8$のとき，$b_1=[ア]$，$a_2=-[イ]$，$b_2=[ウ]$，$a_3=-[エ]$，$b_4=[オ]$，$a_4=-[カ]$，$b_4=[キ]$，$a_5=-[ク]$，$b_5=[ケ]$，$a_6=-[コ]$となる．
(2)$p=-13$のとき，$a_{190}=[サ]$，$b_{190}=[シ]$，$a_{191}=[ス]$，$b_{191}=[セ]$，$a_{192}=[ソ]$，$b_{192}=[タ]$となる．
(3)$p=-13$のとき，$\displaystyle \sum_{k=1}^{200} a_k=[チ][ツ][テ]$となる．
(4)$p=-13$のとき，$\displaystyle \sum_{k=1}^{30} k^2b_k=\kakkofour{ト}{ナ}{ニ}{ヌ}$となる．
(5)$p=3^{11}+1$のとき，数列$\{b_n\}$の第$2$項目以降で$0$でない値が初めて出てくるのは，第$[ネ][ノ]$項目であり，その項の値は$[ハ]$である．
(6)数列$\{b_n\}$のすべての項が$1$となるような整数$p$で絶対値が最小となるものは，$[あ] [ヒ]$である．$0$のときは，$+0$で表すものとする．