「絶対値」について
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国立 福島大学 2015年 第1問次の問いに答えなさい．
(1)次の関数の最大値および最小値を求めなさい．
\[ f(x)=|x|+|x-1|+|x-2| \quad (-1 \leqq x \leqq 3) \]
(2)$\sqrt{x}+\sqrt{y}=10$のとき，$\log_{10}x+\log_{10}y$の最大値を求めなさい．
(3)$f(\theta)=5 \sin \theta-12 \cos \theta (0 \leqq \theta \leqq 2\pi)$の最大値および最小値を求めなさい．
(1)次の関数の最大値および最小値を求めなさい．
\[ f(x)=|x|+|x-1|+|x-2| \quad (-1 \leqq x \leqq 3) \]
(2)$\sqrt{x}+\sqrt{y}=10$のとき，$\log_{10}x+\log_{10}y$の最大値を求めなさい．
(3)$f(\theta)=5 \sin \theta-12 \cos \theta (0 \leqq \theta \leqq 2\pi)$の最大値および最小値を求めなさい．
国立 福島大学 2015年 第1問次の問いに答えなさい．
(1)次の関数の最大値および最小値を求めなさい．
\[ f(x)=|x|+|x-1|+|x-2| \quad (-1 \leqq x \leqq 3) \]
(2)$\sqrt{x}+\sqrt{y}=10$のとき，$\log_{10}x+\log_{10}y$の最大値を求めなさい．
(3)$f(\theta)=5 \sin \theta-12 \cos \theta (0 \leqq \theta \leqq 2\pi)$の最大値および最小値を求めなさい．
(1)次の関数の最大値および最小値を求めなさい．
\[ f(x)=|x|+|x-1|+|x-2| \quad (-1 \leqq x \leqq 3) \]
(2)$\sqrt{x}+\sqrt{y}=10$のとき，$\log_{10}x+\log_{10}y$の最大値を求めなさい．
(3)$f(\theta)=5 \sin \theta-12 \cos \theta (0 \leqq \theta \leqq 2\pi)$の最大値および最小値を求めなさい．
国立 山口大学 2015年 第1問方程式$|x^2-4x+3|=|2x-5|$を解きなさい．
国立 山口大学 2015年 第2問座標平面上で，点$\mathrm{P}(s,\ t)$が直線$x-2y=1$上を動くとき，点$\mathrm{Q}(s+|t|,\ |s|+t)$の軌跡を求め，図示しなさい．
国立 京都教育大学 2015年 第4問次の$(1),\ (2)$を証明せよ．
(1)$A>0,\ B \geqq 0$であるとき，$A>B$と$A^2>B^2$は同値である．
(2)$|a|<1$かつ$|b|<1$ならば，
\[ 1+ab \neq 0 \;\text{かつ}\; |\displaystyle\frac{a+b|{1+ab}}<1 \]
(1)$A>0,\ B \geqq 0$であるとき，$A>B$と$A^2>B^2$は同値である．
(2)$|a|<1$かつ$|b|<1$ならば，
\[ 1+ab \neq 0 \;\text{かつ}\; |\displaystyle\frac{a+b|{1+ab}}<1 \]
国立 京都教育大学 2015年 第5問$a$は実数であるとする．$x$の関数$f(x)$を，
\[ f(x)=\frac{1}{3}x^3-\frac{a-1}{2}x^2-ax+2 \]
により定義する．
\[ I=\int_0^6 |f^\prime(x)| \, dx \]
が最小になるような$a$の値と，そのときの$I$の値を求めよ．
\[ f(x)=\frac{1}{3}x^3-\frac{a-1}{2}x^2-ax+2 \]
により定義する．
\[ I=\int_0^6 |f^\prime(x)| \, dx \]
が最小になるような$a$の値と，そのときの$I$の値を求めよ．
国立 宮城教育大学 2015年 第3問関数$f(x)$が
\[ f(x)=3x^2-\int_0^1 |f(t)| \, dt \]
をみたすとき，次の問に答えよ．
(1)方程式$4x^3-6x^2+1=0$を$\displaystyle x=\frac{1}{u}$とおくことにより解け．
(2)$\displaystyle \int_0^1 |f(t)| \, dt=3a^2$とおくとき，$a$の値を求めよ．ただし，$a \geqq 0$とする．
\[ f(x)=3x^2-\int_0^1 |f(t)| \, dt \]
をみたすとき，次の問に答えよ．
(1)方程式$4x^3-6x^2+1=0$を$\displaystyle x=\frac{1}{u}$とおくことにより解け．
(2)$\displaystyle \int_0^1 |f(t)| \, dt=3a^2$とおくとき，$a$の値を求めよ．ただし，$a \geqq 0$とする．
国立 東京医科歯科大学 2015年 第2問実数$a,\ b$に対し，$f(x)=x^3-3ax+b$とおく．$-1 \leqq x \leqq 1$における$|f(x)|$の最大値を$M$とする．このとき以下の各問いに答えよ．
(1)$a>0$のとき，$f(x)$の極値を$a,\ b$を用いて表せ．
(2)$b \geqq 0$のとき，$M$を$a,\ b$を用いて表せ．
(3)$a,\ b$が実数全体を動くとき，$M$のとりうる値の範囲を求めよ．
(1)$a>0$のとき，$f(x)$の極値を$a,\ b$を用いて表せ．
(2)$b \geqq 0$のとき，$M$を$a,\ b$を用いて表せ．
(3)$a,\ b$が実数全体を動くとき，$M$のとりうる値の範囲を求めよ．
国立 東京医科歯科大学 2015年 第3問実数$a,\ b$に対し，$f(x)=x^3-3ax+b$とおく．$-1 \leqq x \leqq 1$における$|f(x)|$の最大値を$M$とする．このとき以下の各問いに答えよ．
(1)$a>0$のとき，$f(x)$の極値を$a,\ b$を用いて表せ．
(2)$\displaystyle a=\frac{1}{3},\ b=1$のとき，$M$を求めよ．
(3)$M=4,\ b=1$となるような$f(x)$をすべて求めよ．
(1)$a>0$のとき，$f(x)$の極値を$a,\ b$を用いて表せ．
(2)$\displaystyle a=\frac{1}{3},\ b=1$のとき，$M$を求めよ．
(3)$M=4,\ b=1$となるような$f(x)$をすべて求めよ．
国立 東京医科歯科大学 2015年 第3問座標平面上で次のように媒介変数表示される曲線$C$を考える．
\[ \left\{ \begin{array}{l}
x=|\cos t| \cos^3 t \\
y=|\sin t| \sin^3 t \phantom{\frac{\mkakko{}}{2}}
\end{array} \right. \hspace{-8mm}(0 \leqq t \leqq 2\pi) \]
このとき以下の各問いに答えよ．
(1)次の条件$(*)$を満たす第$1$象限内の定点$\mathrm{F}$の座標を求めよ．
$(*)$ 第$1$象限内で$C$上にあるすべての点$\mathrm{P}$について，$\mathrm{P}$から直線$x+y=0$に下ろした垂線を$\mathrm{PH}$とするとき，つねに$\mathrm{PF}=\mathrm{PH}$となる．
(2)点$\mathrm{P}$が$C$全体を動くとき，$\mathrm{P}$と$(1)$の定点$\mathrm{F}$を結ぶ線分$\mathrm{PF}$が通過する領域を図示し，その面積を求めよ．
(3)$(2)$の領域を$x$軸のまわりに$1$回転してできる立体の体積を求めよ．
\[ \left\{ \begin{array}{l}
x=|\cos t| \cos^3 t \\
y=|\sin t| \sin^3 t \phantom{\frac{\mkakko{}}{2}}
\end{array} \right. \hspace{-8mm}(0 \leqq t \leqq 2\pi) \]
このとき以下の各問いに答えよ．
(1)次の条件$(*)$を満たす第$1$象限内の定点$\mathrm{F}$の座標を求めよ．
$(*)$ 第$1$象限内で$C$上にあるすべての点$\mathrm{P}$について，$\mathrm{P}$から直線$x+y=0$に下ろした垂線を$\mathrm{PH}$とするとき，つねに$\mathrm{PF}=\mathrm{PH}$となる．
(2)点$\mathrm{P}$が$C$全体を動くとき，$\mathrm{P}$と$(1)$の定点$\mathrm{F}$を結ぶ線分$\mathrm{PF}$が通過する領域を図示し，その面積を求めよ．
(3)$(2)$の領域を$x$軸のまわりに$1$回転してできる立体の体積を求めよ．