$n$を$2$以上の自然数とし，$1$から$n$までの自然数$k$に対して，番号$k$をつけたカードをそれぞれ$k$枚用意する．これらすべてを箱に入れ，箱の中から$2$枚のカードを同時に引くとき，次の問いに答えよ．

(1)用意したカードは全部で何枚か答えよ．
(2)引いたカード$2$枚の番号が両方とも$k$である確率を$n$と$k$の式で表せ．
(3)引いたカード$2$枚の番号が一致する確率を$n$の式で表せ．
(4)引いたカード$2$枚の番号が連続している確率（すなわち，$2$つの番号の差の絶対値が$1$である確率）を$n$の式で表せ．

次の問いに答えよ．

(1)$2$次関数$f(x)$が
\[ f(x)=6x^2-\left( \int_0^1 f(t) \, dt \right)^2 \]
をみたすとき，$f(x)$を求めよ．
(2)$2$次関数$g(x)$が
\[ g(x)=4x^2-\left( \int_0^1 |g(t)| \, dt \right)^2 \]
をみたすとき，$g(x)$を求めよ．

$e$を自然対数の底とし，$0 \leqq x \leqq e$とする．関数$\displaystyle f(x)=\int_0^2 |e^t-x^2| \, dt$について，次の問いに答えよ．

(1)定積分を計算し，$f(x)$を$x$を用いて表せ．
(2)$f(x)$の最大値と最小値を求めよ．また，それらの値をとるときの$x$の値もそれぞれ求めよ．

$e$を自然対数の底とし，$0 \leqq x \leqq e$とする．関数$\displaystyle f(x)=\int_0^2 |e^t-x^2| \, dt$について，次の問いに答えよ．

(1)定積分を計算し，$f(x)$を$x$を用いて表せ．
(2)$f(x)$の最大値と最小値を求めよ．また，それらの値をとるときの$x$の値もそれぞれ求めよ．

$r$を正の実数とする．数列$\{a_n\}$を
\[ a_n=\int_0^{n\pi} e^{-rx}|\sin x| \, dx \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
と定めるとき，以下の問いに答えよ．

(1)$a_{n+1}-a_n$を求めよ．
(2)$\{a_n\}$の一般項を求めよ．
(3)$\displaystyle \lim_{n \to \infty}a_n$を$r$を用いて表せ．
(4)$(3)$で求めた$r$の式を$f(r)$とおく．$\displaystyle \lim_{r \to +0}rf(r)$を求めよ．

数列$\{a_n\}$を
\[ a_n=\int_0^{n\pi} e^{-x}|\sin x| \, dx \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
と定めるとき，以下の問いに答えよ．

(1)$a_{n+1}-a_n$を求めよ．
(2)$\{a_n\}$の一般項を求めよ．
(3)$\displaystyle \lim_{n \to \infty}a_n$を求めよ．

関数$f(x)=|x| \sqrt{1-x^2} (-1 \leqq x \leqq 1)$について，次の問いに答えよ．

(1)$f(x)$の増減を調べ，最大値，最小値を求めよ．
(2)定積分$\displaystyle \int_{-1}^1 f(x) \, dx$を求めよ．

$k$を実数とする．関数$y=|x(x-1)|$のグラフと直線$y=kx$が異なる$3$点を共有している．これらで囲まれた$2$つの部分の面積の和を$S$とする．

(1)$k$の値の範囲を求めなさい．
(2)$S$を$k$の式で表しなさい．
(3)$S$が最小になるときの$k$の値を求めなさい．

$k$を実数とする．関数$y=|x(x-1)|$のグラフと直線$y=kx$が異なる$3$点を共有している．これらで囲まれた$2$つの部分の面積の和を$S$とする．

(1)$k$の値の範囲を求めなさい．
(2)$S$を$k$の式で表しなさい．
(3)$S$が最小になるときの$k$の値を求めなさい．

$k$を実数とする．関数$y=|x(x-1)|$のグラフと直線$y=kx$が異なる$3$点を共有している．これらで囲まれた$2$つの部分の面積の和を$S$とする．

(1)$k$の値の範囲を求めなさい．
(2)$S$を$k$の式で表しなさい．
(3)$S$が最小になるときの$k$の値を求めなさい．