点$z$は複素数とする．点$z$は，原点$\mathrm{O}$を中心とする半径$1$の円上を動く．$\displaystyle w=\frac{6z-1}{2z-1}$としたとき，$|w|$の最大値を$M$，最小値を$m$とする．$3(M-m)$の値を求めよ．

不等式$\sqrt{ax+b}>x-2 (a \neq 0)$を満たす$x$の範囲が，$3<x<6$となるとき，$|a+b|$の値を求めよ．

原点$\mathrm{O}(0,\ 0)$，点$\mathrm{A}(6,\ 8)$，点$\mathrm{B}(21,\ 0)$を頂点とする$\triangle \mathrm{OAB}$について考える．$\triangle \mathrm{OAB}$の内接円の中心の座標を$(p,\ q)$とする．$|\displaystyle\frac{2p|{q}}$の値を求めよ．

$3$つのベクトル$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$は，$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}=\overrightarrow{\mathrm{0}}$，$|\overrightarrow{a|}=4$，$|\overrightarrow{b|}=5$，$|\overrightarrow{c|}=7$を満たす．$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}$の値を求めよ．

次の文中の$[ア]$～$[ヌ]$にあてはまる最も適切な数値を答えなさい．

$xy$平面上のいくつかの曲線および直線について考える．

(1)曲線$C_1:y=x(x-2)$と$x$軸によって囲まれた領域の面積を$S$とすれば$\displaystyle S=\frac{[ア]}{[イ]}$である．
原点を通る直線$\ell:y=kx$と$C_1$は，これらが接する場合を除き$x=0$および$x=[ウ]+[エ]k$で交わる．
また，$\ell$が$S$を等分するとき，$\displaystyle k=[オ]+\left( [カ] \right)^{1/ \mkakko{キ}}$である．
(2)曲線$C_2:y=x |x-2|$と，直線$\ell:y=kx$が原点で接するとき，$k=[ク]$であり，$C_2$と$\ell$は$x=[ケ]$で再び交わる．このとき，$C_2$と$\ell$によって囲まれた領域の面積は$[コ]$である．
(3)曲線$C_3:y=x(x-2)^2$と$x$軸によって囲まれた領域の面積は$\displaystyle \frac{[サ]}{[シ]}$である．
$C_3$と直線$\ell:y=kx$が原点で接するとき，$k=[ス]$であり，$C_3$と$\ell$は$x=[セ]$で再び交わる．このとき，$C_3$と$\ell$によって囲まれた領域の面積は$\displaystyle \frac{[ソ][タ]}{[チ]}$である．
$C_3$は$\displaystyle x=\frac{[ツ]}{[テ]}$で極大値をとるから，曲線$C_3$と，直線$L:y=a$が異なる$3$つの共有点をもつような$a$の範囲は，$\displaystyle 0<a<\frac{[ト][ナ]}{[ニ][ヌ]}$である．

数列$\{a_n\}$の初項から第$n$項までの和を$S_n$とする．$S_n=5-2n-2a_n$であるとき，$|\displaystyle \lim_{n \to \infty|a_n}$の値を求めよ．

初項$1$，公比$x(1-x)$の無限等比級数が収束するための$x$のとりうる範囲は，$a<x<b$となる．$5 |a+b|$の値を求めよ．

関数$\displaystyle f(x)=\frac{ax^2+bx+c}{x^2+2} (a \neq 0)$（$a,\ b,\ c$は実数）は，$x=-2$で極小値$\displaystyle \frac{1}{2}$をとり，$x=1$で極大値$2$をとる．$|a+b-c|$の値を求めよ．

関数$f(x)=ax^3+bx^2+cx+d (a \neq 0)$と関数$g(x)=px^3+qx^2+rx+s (p \neq 0)$について考える（$a,\ b,\ c,\ d,\ p,\ q,\ r,\ s$は実数）．

$f(x)+3g(x)=-x^2$，$f^\prime(x)+g^\prime(x)=2x^2-4$，$g(0)=1$が全て成立しているとき，$|2aq|$の値を求めよ．

座標平面上で，曲線$y=ax^2+bx+2$を$C$とおく．また，直線$y=ax+b+2$を$\ell$とおく．ただし，$a,\ b$は定数とし，$a>0$とする．以下の問に答えなさい．

(1)曲線$C$と直線$\ell$がただ$1$つの共有点を持つための必要十分条件となる$a,\ b$の式を求めなさい．また，その共有点の座標を求めなさい．
(2)いま，曲線$C$と直線$\ell$が$2$つの交点を持ち，$2$交点の$x$座標の差の絶対値は$4$であるとする．また，曲線$C$と直線$\ell$で囲まれる部分の面積は$64$であるとする．このとき，これを満たす$a,\ b$の値を求めなさい．