次の$[ア]$～$[エ]$に数を入れよ．

(1)$2$つのさいころを投げ，出た目が両方とも奇数である事象を$A$，出た目の和が$4$の倍数である事象を$B$とする．このとき，$A$または$B$が起こる確率は$[ア]$であり，$B$が起きたときの$A$が起こる条件付き確率は$[イ]$である．
(2)$p$を定数とする．$x$の$1$次式$f(x)$が，
\[ xf(x+1)=p \int_1^x (x+t)f^\prime(t) \, dt+1 \]
を満たしているとき，$p=[ウ]$である．また，$\displaystyle \int_0^2 |f(x)| \, dx$の値は$[エ]$である．

関数$\displaystyle f(x)=\frac{x^2}{2}-2 |x-1|+2$について，次の各問に答えよ．

(1)$y=f(x)$のグラフをかけ．
(2)$-4 \leqq x \leqq 2$のときの$f(x)$の最大値と最小値を求めよ．
(3)曲線$y=f(x)$と直線$y=x$で囲まれた$3$つの部分の面積の和を求めよ．

整式$2x^3+ax^2+bx-4$が，$2x+1$および$x-4$で割り切れるとき，$|a-b|$の値を求めよ．

関数$y=4^x+4^{-x}-2^{x+1}-2^{1-x}$は，$x=a$のとき最小値$b$をとる．$|a+b|$の値を求めよ．

実数$m,\ n$は，$m+n=17$を満たす．$2^m+4^n$を最小にする$m,\ n$の値をそれぞれ$a,\ b$とするとき，$|\displaystyle\frac{96a|{35b}}$の値を求めよ．

関数$y=4(\cos 2x-\cos x)+7 \sin^2 x+3 \cos^2 x$について，最大値を$M$，最小値を$m$としたとき，$|M-m|$の値を求めよ．

$a$を$\displaystyle 0 \leqq a \leqq \frac{1}{2}$を満たす実数とする．このとき，関数$f(x)=|x^2-2ax|$について，次の問いに答えよ．

(1)$\displaystyle a=\frac{1}{4}$のときの，$0 \leqq x \leqq 1$における$f(x)$の最大値を求めよ．
また，$\displaystyle a=\frac{4}{9}$のときの，$0 \leqq x \leqq 1$における$f(x)$の最大値を求めよ．
(2)$f(a)=f(1)$となる$a$の値を$A$とする．このとき，$A$を求めよ．
(3)$0 \leqq a \leqq A$とする．$0 \leqq x \leqq 1$における$f(x)$の最大値を$a$を用いて表せ．
(4)$\displaystyle A \leqq a \leqq \frac{1}{2}$とする．$0 \leqq x \leqq 1$における$f(x)$の最大値を$a$を用いて表せ．
(5)$0 \leqq x \leqq 1$における$f(x)$の最大値を$a$の関数として，$M(a)$で表す．$\displaystyle 0 \leqq a \leqq \frac{1}{2}$における$M(a)$の最小値を求めよ．

次の空欄$[ア]$～$[ケ]$に当てはまる数または式を記入せよ．

(1)$\displaystyle \sin \theta+\cos \theta=\frac{2}{3}$のとき，$\sin \theta \cos \theta=[ア]$，$\sin^3 \theta+\cos^3 \theta=[イ]$である．
(2)高さが$1$の円錐を，頂点から$a$の距離で底面に平行な面で上下$2$つに切断する．体積が$2$等分されるのは，$a=[ウ]$のときである．
(3)$\displaystyle \sum_{k=5}^{20}(2k-7)$の値は$[エ]$である．
(4)多項式$(x-1)(x-2)(x-3)$を$x-4$で割った余りを$A$，$(x-2)(x-3)(x-4)$を$x-1$で割った余りを$B$，$(x-3)(x-4)(x-1)$を$x-2$で割った余りを$C$とすると，$A+B+C=[オ]$である．
(5)定積分$\displaystyle \int_{-2}^5 |x^2-9| \, dx$の値は$[カ]$である．
(6)$5$人の大人と$3$人の子どもが，円形のテーブルの周りに座る．子ども同士が隣り合わない座り方は全部で$[キ]$通りある．ただし，回転して一致するものは同じ座り方とみなす．
(7)半透明のガラス板がある．光がガラス板$1$枚を通ると，その強さが$8$割に減る．光の強さが当初の$1$割未満となるのは，ガラス板を$[ク]$枚以上重ねたときである．ただし，必要であれば$\log_{10}2=0.3010$を用いよ．
(8)$1$周$300 \, \mathrm{m}$の池の周りを，$\mathrm{A}$は徒歩で，$\mathrm{B}$は自転車で，同じ地点から同時にスタートし，同じ方向に回る．自転車が徒歩の$5$倍の速さで進むとき，$\mathrm{B}$が池を$1$周したあと，$\mathrm{A}$を初めて追い抜く地点は，スタート地点から進行方向に$[ケ] \, \mathrm{m}$進んだ地点である．

不等式$2 |x|+3 |y| \leqq 30$の表す領域における点の座標を$(a,\ b)$とする．$a,\ b$ともに整数となる点の個数を$p$としたとき，$\displaystyle n<\frac{p}{100}<n+1$となる自然数$n$の値を求めよ．

複素数$z$は，$1+z+z^2+z^3+z^4+z^5+z^6+z^7+z^8+z^9=0$を満たす．

$\displaystyle \frac{|z-2|^2+|z+2|^2}{5}$の値を求めよ．