タグ「絶対値」の検索結果

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京都大学 国立 京都大学 2016年 第1問
$xy$平面内の領域
\[ x^2+y^2 \leqq 2,\quad |x| \leqq 1 \]
で,曲線$C:y=x^3+x^2-x$の上側にある部分の面積を求めよ.
京都大学 国立 京都大学 2016年 第4問
$xyz$空間において,平面$y=z$の中で
\[ |x| \leqq \frac{e^y+e^{-y}}{2}-1,\quad 0 \leqq y \leqq \log a \]
で与えられる図形$D$を考える.ただし$a$は$1$より大きい定数とする.

この図形$D$を$y$軸のまわりに$1$回転させてできる立体の体積を求めよ.
一橋大学 国立 一橋大学 2016年 第4問
$a$を実数とし,$f(x)=x^3-3ax$とする.区間$-1 \leqq x \leqq 1$における$|f(x)|$の最大値を$M$とする.$M$の最小値とそのときの$a$の値を求めよ.
大阪大学 国立 大阪大学 2016年 第2問
曲線$\displaystyle C:y=|\displaystyle\frac{1|{2}x^2-6}-2x$を考える.

(1)$C$と直線$L:y=-x+t$が異なる$4$点で交わるような$t$の値の範囲を求めよ.
(2)$C$と$L$が異なる$4$点で交わるとし,その交点を$x$座標が小さいものから順に$\mathrm{P}_1$,$\mathrm{P}_2$,$\mathrm{P}_3$,$\mathrm{P}_4$とするとき,
\[ \frac{|\overrightarrow{\mathrm{P|_1 \mathrm{P}_2}}+|\overrightarrow{\mathrm{P|_3 \mathrm{P}_4}}}{|\overrightarrow{\mathrm{P|_2 \mathrm{P}_3}}}=4 \]
となるような$t$の値を求めよ.
(3)$t$が$(2)$の値をとるとき,$C$と線分$\mathrm{P}_2 \mathrm{P}_3$で囲まれる図形の面積を求めよ.
神戸大学 国立 神戸大学 2016年 第1問
四面体$\mathrm{OABC}$において,$\mathrm{P}$を辺$\mathrm{OA}$の中点,$\mathrm{Q}$を辺$\mathrm{OB}$を$2:1$に内分する点,$\mathrm{R}$を辺$\mathrm{BC}$の中点とする.$\mathrm{P}$,$\mathrm{Q}$,$\mathrm{R}$を通る平面と辺$\mathrm{AC}$の交点を$\mathrm{S}$とする.$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$,$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$,$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$とおく.以下の問に答えよ.

(1)$\overrightarrow{\mathrm{PQ}}$,$\overrightarrow{\mathrm{PR}}$をそれぞれ$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$を用いて表せ.
(2)比$|\overrightarrow{\mathrm{AS|}}:|\overrightarrow{\mathrm{SC|}}$を求めよ.
(3)四面体$\mathrm{OABC}$を$1$辺の長さが$1$の正四面体とするとき,$|\overrightarrow{\mathrm{QS|}}$を求めよ.
神戸大学 国立 神戸大学 2016年 第2問
$a$を正の定数とし,$f(x)=|x^2+2ax+a|$とおく.以下の問に答えよ.

(1)$y=f(x)$のグラフの概形をかけ.
(2)$a=2$とする.すべての実数$x$に対して$f(x) \geqq 2x+b$が成り立つような実数$b$の取りうる値の範囲を求めよ.
(3)$\displaystyle 0<a \leqq \frac{3}{2}$とする.すべての実数$x$に対して$f(x) \geqq 2x+b$が成り立つような実数$b$の取りうる値の範囲を$a$を用いて表せ.また,その条件をみたす点$(a,\ b)$の領域を$ab$平面上に図示せよ.
東京海洋大学 国立 東京海洋大学 2016年 第1問
数列$\{a_n\},\ \{b_n\}$を以下で定める.


$a_1=2,\quad b_1=1$

$\left\{ \begin{array}{l}
a_{n+1}=2a_n+3b_n \\
b_{n+1}=a_n+2b_n
\end{array} \right. \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$



(1)$n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots$について,


$a_n+\sqrt{3}b_n={(2+\sqrt{3})}^n$

$a_n-\sqrt{3}b_n={(2-\sqrt{3})}^n$


が成り立つことを示せ.

(2)$\displaystyle \frac{b_n}{a_n}$を$n$を用いて表せ.

(3)数列$\{e_n\}$を
\[ e_n=\frac{\sqrt{3} \, b_n}{a_n}-1 \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
で定めるとき,$n \geqq 3$ならば
\[ |e_n|<0.001 \]
であることを示せ.ただし,$\displaystyle 0.071<\frac{2-\sqrt{3}}{2+\sqrt{3}}<0.072$を用いてもよい.
神戸大学 国立 神戸大学 2016年 第1問
四面体$\mathrm{OABC}$において,$\mathrm{P}$を辺$\mathrm{OA}$の中点,$\mathrm{Q}$を辺$\mathrm{OB}$を$2:1$に内分する点,$\mathrm{R}$を辺$\mathrm{BC}$の中点とする.$\mathrm{P}$,$\mathrm{Q}$,$\mathrm{R}$を通る平面と辺$\mathrm{AC}$の交点を$\mathrm{S}$とする.$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$,$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$,$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$とおく.以下の問に答えよ.

(1)$\overrightarrow{\mathrm{PQ}}$,$\overrightarrow{\mathrm{PR}}$をそれぞれ$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$を用いて表せ.
(2)比$|\overrightarrow{\mathrm{AS|}}:|\overrightarrow{\mathrm{SC|}}$を求めよ.
(3)四面体$\mathrm{OABC}$を$1$辺の長さが$1$の正四面体とするとき,$|\overrightarrow{\mathrm{QS|}}$を求めよ.
神戸大学 国立 神戸大学 2016年 第2問
$a$を正の定数とし,$f(x)=|x^2+2ax+a|$とおく.以下の問に答えよ.

(1)$y=f(x)$のグラフの概形をかけ.
(2)$y=f(x)$のグラフが点$(-1,\ 2)$を通るときの$a$の値を求めよ.また,そのときの$y=f(x)$のグラフと$x$軸で囲まれる図形の面積を求めよ.
(3)$a=2$とする.すべての実数$x$に対して$f(x) \geqq 2x+b$が成り立つような実数$b$の取りうる値の範囲を求めよ.
大分大学 国立 大分大学 2016年 第1問
大きさ$1$のベクトル$\overrightarrow{a}$と,$\overrightarrow{\mathrm{0}}$でないベクトル$\overrightarrow{b}$のなす角を$\theta$とする.


(1)$|\, 3 \overrightarrow{a|+t \overrightarrow{b}}$が最小となるような実数$t$の値を$|\!\overrightarrow{b}\!|$,$\theta$を用いて表しなさい.

(2)$|\, 3 \overrightarrow{a|+t \overrightarrow{b}}$は$\displaystyle t=-\frac{1}{2}$のとき最小値$2 \sqrt{2}$をとる.$|\!\overrightarrow{b}\!|$および$\cos \theta$の値を求めなさい.
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「絶対値」とは・・・

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