$x>0$のとき，以下の問いに答えよ．

(1)不等式$2 \sqrt{x}>\log x$を示せ．
(2)関数$\displaystyle y=\frac{1-\log x}{x^2}$の増減，極値，グラフの凹凸および変曲点を調べ，そのグラフの概形をかけ．ただし，必要があれば，(1)の結果を用いてよい．

硬貨投げをしたとき，表，裏がそれぞれ$\displaystyle \frac{1}{2}$の確率で出る硬貨がある．この硬貨を用いて硬貨投げを$n$回繰り返す．$k=1,\ 2,\ \cdots,\ n$に対し，$k$回目の硬貨投げの結果に応じて$a_k$を次で定める：
\[ a_k=\left\{ \begin{array}{rl}
1 & k \text{回目の硬貨投げの結果が表のとき} \\
-1 & k \text{回目の硬貨投げの結果が裏のとき}
\end{array} \right. \]
また，この$a_k \ (k=1,\ 2,\ \cdots,\ n)$を用いて$n$次式$f(x)$を$\displaystyle f(x)=\sum_{k=1}^n a_kx^k$で定める．

(1)$n$が偶数のとき，$f(x)$が$x-1$で割り切れる確率を$n$を用いて表せ．
(2)$n$が$4$の倍数のとき，$f(x)$が$(x-1)(x+1)$で割り切れる確率を$n$を用いて表せ．
(3)$n$が$2$以上の自然数のとき，$f(2)=2$となる確率を$n$を用いて表せ．

次の問いに答えよ．

(1)$\displaystyle a_1=\frac{3}{2},\ a_{n+1}+2a_{n+1}a_n-3a_n=0 \ (n \geqq 1)$で与えられる数列$\{a_n\}$について，$a_2,\ a_3,\ a_4,\ a_5$の値を求めよ．また，一般項$a_n$を推測し，その推測の結果を数学的帰納法で証明せよ．
(2)$\displaystyle \frac{7}{12}\pi=\frac{\pi}{3}+\frac{\pi}{4}$であることを利用して$\displaystyle \sin \frac{7}{12}\pi$を求め，$1 \leqq x \leqq 4$のとき，次の方程式を解け．
\[ \sin x=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4} \]
(3)$\displaystyle 0 \leqq x<\frac{\pi}{2}$とする．このとき，$X=\log_2 \cos x$の範囲を求め，次の不等式を解け．
\[ 2(\log_2 \cos x)^2+(4-\log_2 3)\log_2 \cos x+2-\log_23 \leqq 0 \]
{\bf 注意：} $\log_2 \cos x$は$\log_2(\cos x)$を表す．

次の$[　]$にあてはまる適切な数値を記入せよ．

(1)数直線上を動く点$\mathrm{P}$が原点の位置にある．$2$個のさいころを同時に投げる試行を$\mathrm{T}$とし，試行$\mathrm{T}$の結果によって，$\mathrm{P}$は次の規則で動く．
（規則）$2$個のさいころの出た目の積が偶数ならば$+2$だけ移動し，奇数ならば$+1$だけ移動する．
試行$\mathrm{T}$を$n$回繰り返し行ったときの$\mathrm{P}$の座標を$x_n$とすると，$x_1=2$となる確率は$[ア]$であり，$x_3=3$かつ$x_4=5$となる確率は$[イ]$である．また，$\mathrm{P}$が座標$4$以上の点に初めて到達するまで試行$\mathrm{T}$を繰り返し行うとき，試行回数の期待値は$[ウ]$である．
(2)平面上に$3$点$\mathrm{O}$，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$があり，$|\overrightarrow{\mathrm{OA}}|=|\overrightarrow{\mathrm{OA}}+\overrightarrow{\mathrm{OB}}|=|2 \overrightarrow{\mathrm{OA}}+\overrightarrow{\mathrm{OB}}|=1$をみたしている．このとき，$|\overrightarrow{\mathrm{OB}}|=[エ]$である．また，実数$s,\ t$が条件$1 \leqq s+3t \leqq 3$，$s \geqq 0$，$t \geqq 0$をみたしながら動くとき，$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=s \overrightarrow{\mathrm{OA}}+t \overrightarrow{\mathrm{OB}}$で定められた点$\mathrm{P}$の存在する範囲の面積は$[オ]$である．

$\angle \mathrm{A}={36}^\circ$，$\mathrm{AB}=\mathrm{AC}$の二等辺三角形$\mathrm{ABC}$の底角$\mathrm{C}$の二等分線が$\mathrm{AB}$と交わる点を$\mathrm{D}$とする．

(1)$\mathrm{BC}=2$のとき，辺$\mathrm{BD}$と$\mathrm{CA}$の長さを求めよ．
(2)$(1)$の結果を使って，$\sin {18}^\circ$と$\cos {36}^\circ$の値を求めよ．

$4$点$\mathrm{O}(0,\ 0)$，$\mathrm{A}(5,\ 0)$，$\mathrm{B}(5,\ 4)$，$\mathrm{C}(0,\ 4)$を頂点とする長方形$\mathrm{OABC}$の辺$\mathrm{AB}$，$\mathrm{BC}$上にそれぞれ点$\mathrm{P}(5,\ m)$，$\mathrm{Q}(n,\ 4)$がある．また，$\angle \mathrm{POQ}={45}^\circ$，$\angle \mathrm{AOP}=\theta$とする．

(1)$\tan \theta$を$m$で表すと$\displaystyle \tan \theta=\frac{m}{[ア]}$である．$\tan (\theta+{45}^\circ)$を$n$で表すと$\displaystyle \tan (\theta+{45}^\circ)=\frac{[イ]}{n}$である．
(2)$(1)$の結果を利用して，$m$を$n$で表すと，$\displaystyle m=\frac{[ウエ]}{n+4}-[オ]$である．また，$n$の値の範囲は$\displaystyle \frac{[カ]}{[キ]} \leqq n \leqq [ク]$である．
(3)$\triangle \mathrm{OPQ}$の面積を$S$とするとき，$S$を$n$で表すと


$\displaystyle S=[ケコ]-\frac{[サシ]n}{n+4}+\frac{[ス]}{2}n$

\quad $\displaystyle =\frac{[セ]}{2}(n+4)-\frac{[ソタ](n+4)-[チツ]}{n+4}$

\quad $\displaystyle =\frac{[セ]}{2}(n+4)+\frac{[チツ]}{n+4}-[ソタ]$となる．

したがって，$S$の最小値は$[テト](\sqrt{[ナ]}-1)$となり，そのとき，$n=[ニ](\sqrt{[ヌ]}-1)$である．

$[オ]$，$[タ]$，$[チ]$，$[ト]$，$[ナ]$の解答は対応する解答群の中から最も適当なものを$1$つ選べ．

条件$a_1=0$，$a_2=0$と漸化式
\[ a_{n+2}-3a_{n+1}+2a_n=2^n \log_2 \frac{(n+1)^2}{n} \cdots\cdots (*) \]
$(n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$で定められる数列の一般項を，以下の要領で求めてみよう．

(1)漸化式$(*)$より，ベクトル$\overrightarrow{b_n}=\left( \begin{array}{c}
a_{n+1} \\
a_n
\end{array} \right)$に対して
\[ \overrightarrow{b_{n+1}}=A \overrightarrow{b_n}+\left( \begin{array}{c}
2^n \log_2 \displaystyle\frac{(n+1)^2}{n} \\
0
\end{array} \right) \]
が成立する．ただし，行列$A$は$A=\left( \begin{array}{cc}
[ア] & [イウ] \\
[エ] & 0
\end{array} \right)$である．
この式の両辺に，$A$の逆行列$A^{-1}$を左から$n$回かけると
\[ (A^{-1})^n \overrightarrow{b_{n+1}}=(A^{-1})^{n-1} \overrightarrow{b_n}+(A^{-1})^n \left( \begin{array}{c}
\displaystyle 2^n \log_2 \frac{(n+1)^2}{n} \\
0
\end{array} \right) \]
となり，$(A^{-1})^{n-1} \overrightarrow{b_n}$の階差数列がわかる．これより，$2$以上の整数$n$に対し，
\[ (A^{-1})^{n-1} \overrightarrow{b_{n}}=\overrightarrow{b_1}+\sum_{k=1}^{[オ]} (A^{-1})^k \left( \begin{array}{c}
\displaystyle 2^k \log_2 \frac{(k+1)^2}{k} \\
0
\end{array} \right) \cdots\cdots (**) \]
を得る．
(2)$(**)$式の右辺第一項は$\overrightarrow{b_1}=\left( \begin{array}{c}
[カ] \\
[キ]
\end{array} \right)$であり，$\displaystyle A^{-1}=\frac{1}{2} \left( \begin{array}{cc}
[ク] & [ケ] \\
[コサ] & [シ]
\end{array} \right)$は行列$P=\left( \begin{array}{cc}
2 & 1 \\
1 & 1
\end{array} \right)$を用いて
\[ A^{-1}=P \left( \begin{array}{cc}
\displaystyle\frac{[ス]}{[セ]} & 0 \\
0 & [ソ]
\end{array} \right) P^{-1} \]
と表されるので，$(**)$式右辺の和の項について，次式が成立する．
\[ \sum_{k=1}^{[オ]} (A^{-1})^k \left( \begin{array}{c}
\displaystyle 2^k \log_2 \frac{(k+1)^2}{k} \\
0
\end{array} \right)=P \left( \begin{array}{c}
\log_2 [タ] \\
-2^n \log_2 [チ]
\end{array} \right) \]
(3)$(2)$の結果と，行列$A$が同じ$P$を用いて
\[ A=P \left( \begin{array}{cc}
[ツ] & 0 \\
0 & [テ]
\end{array} \right) P^{-1} \]
と表わされることに注意すると，$(**)$式の両辺に行列$A$を左から$(n-1)$回かけて得られる$\overrightarrow{b_n}$から，一般項$a_n$は
\[ a_n=2^{[ト]} \log_2 [ナ] \]
（$n=2,\ 3,\ 4,\ \cdots$）となる．

$[オ]$，$[ト]$の解答群
\[ \begin{array}{llll}
\nagamaruichi n-1 & \nagamaruni n & \nagamarusan n+1 & \nagamarushi 1-n \\
\nagamarugo -n & \nagamaruroku -n-1 \phantom{AA} & \nagamarushichi \displaystyle\frac{n(n+1)}{2} \phantom{AA} & \nagamaruhachi n^2-1 \\
\nagamarukyu \displaystyle\frac{1}{6}n(n+1)(2n+1) & & &
\end{array} \]
$[タ]$，$[チ]$，$[ナ]$の解答群
\[ \begin{array}{llll}
\nagamaruichi n-1 & \nagamaruni n & \nagamarusan \displaystyle\frac{n+1}{n} \phantom{AA} & \nagamarushi \displaystyle\frac{4n-6}{n} \\
\nagamarugo n^2-4n+5 & \nagamaruroku (n-1)! \phantom{AA} & \nagamarushichi n! \phantom{AA} & \nagamaruhachi n!-1 \\
\nagamarukyu (n-1) \times n! \phantom{AA} & \nagamarurei n \times n! & &
\end{array} \]

$f=(x \quad y) \left( \begin{array}{cc}
a & b \\
c & a
\end{array} \right) \left( \begin{array}{c}
x \\
y
\end{array} \right)$とする．このとき，以下の問いに答えよ．ただし，$a$，$b$，$c$，$x$，$y$は実数とする．

(1)次の等式を満たす$d,\ e$を$a,\ b,\ c$を用いて表せ．
\[ \left( \begin{array}{cc}
a & b \\
c & a
\end{array} \right)=\left( \begin{array}{cc}
a & d \\
d & a
\end{array} \right)+\left( \begin{array}{cc}
0 & e \\
-e & 0
\end{array} \right) \]
(2)$b=c=0$のとき，$x=y=0$を除くすべての$x,\ y$に対して$f>0$となる$a$の条件を求めよ．
(3)$P=\left( \begin{array}{cc}
\cos \theta & -\sin \theta \\
\sin \theta & \cos \theta
\end{array} \right)$とし，$\displaystyle 0 \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{2}$とする．このとき，次の等式を満たす$z$，$w$，$\theta$を求めよ．ただし，$b \neq 0$とする．
\[ P^{-1} \left( \begin{array}{cc}
a & b \\
b & a
\end{array} \right) P=\left( \begin{array}{cc}
z & 0 \\
0 & w
\end{array} \right) \]
(4)(1)と(3)の結果を利用して，$x=y=0$を除くすべての$x,\ y$に対して$f>0$となる$a$の条件を$b,\ c$を用いて求めよ．

次の条件によって定められる数列$\{a_n\}$について，以下の問に答えよ．
\[ a_1 = \frac{1}{2}, \quad a_{n+1} = \frac{8a_n-1}{25a_n-2} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]

(1)$a_2,\ a_3,\ a_4,\ a_5$を求めよ．
(2)(1)の結果に基づいて，一般項$a_n$を推測せよ．また，その推測が正しいことを証明せよ．

次の問いに答えよ．

(1)次の不定積分を求めよ．
\[ \int \log (1+x) \, dx \]
(2)関数$f(x)$が区間$[0,\ 1]$で連続な増加関数であって，常に$f(x) \geqq 0$であるものとする．また，$n$を自然数とする．このとき，次の不等式が成り立つことを示せ．
\[ 0 \leqq \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n f \left( \frac{k}{n} \right) -\int_0^1 f(x) \, dx \leqq \frac{1}{n} \{ f(1)-f(0) \} \]
(3)$f(x)=\log (1+x)$に対して(2)の結果を用いて，次の極限値を求めよ．
\[ \lim_{n \to \infty} \left[ \frac{1}{n} \log \left\{ \left( 1+\frac{1}{n} \right) \left( 1+\frac{2}{n} \right) \cdots \left( 1+\frac{n}{n} \right) \right\} \right] \]