「経過」について
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私立 東京理科大学 2014年 第1問白，赤，黄，緑の$4$色に光るライトがある．はじめ，ライトの色は白であり，$1$分経過するごとに，次のルールでライトの色が変わるものとする．ただし，ライトの色が白のときについては$n=0,\ 1,\ 2,\ \cdots$，それ以外の色のときについては$n=1,\ 2,\ \cdots$とする．
(i) $n$分後に白のとき，$n+1$分後ではそれぞれ$\displaystyle \frac{1}{3}$の確率で赤，黄，緑になる．
(ii) $n$分後に赤のとき，$n+1$分後ではそれぞれ$\displaystyle \frac{1}{3}$の確率で白，黄，緑になる．
(iii) $n$分後に黄のとき，$n+1$分後ではそれぞれ$\displaystyle \frac{1}{3}$の確率で白，赤，緑になる．
\mon[$\tokeishi$] $n$分後に緑のとき，$n+1$分後ではそれぞれ$\displaystyle \frac{1}{3}$の確率で白，赤，黄になる．
$n$を自然数とし，$n$分後にライトの色が白である確率を$P_n$，また，$n$分後にライトの色が赤である確率を$Q_n$とする．
(1)$\displaystyle P_2=\frac{[ア]}{[イ]},\ Q_2=\frac{[ウ]}{[エ]}$である．
(2)$P_n$および$Q_n$についての漸化式を利用すると，自然数$n$に対して，$n$が$3$以上のとき，
$\displaystyle P_n=\frac{[オ]}{[カ]} \left( [キ]-{\left( -\frac{[ク]}{[ケ]} \right)}^{n-1} \right)$
$\displaystyle Q_n=\frac{[コ]}{[サ]} \left( [シ]+\frac{[ス]}{[セ]} {\left( -\frac{[ソ]}{[タ]} \right)}^{n-1} \right)$
である．
(i) $n$分後に白のとき，$n+1$分後ではそれぞれ$\displaystyle \frac{1}{3}$の確率で赤，黄，緑になる．
(ii) $n$分後に赤のとき，$n+1$分後ではそれぞれ$\displaystyle \frac{1}{3}$の確率で白，黄，緑になる．
(iii) $n$分後に黄のとき，$n+1$分後ではそれぞれ$\displaystyle \frac{1}{3}$の確率で白，赤，緑になる．
\mon[$\tokeishi$] $n$分後に緑のとき，$n+1$分後ではそれぞれ$\displaystyle \frac{1}{3}$の確率で白，赤，黄になる．
$n$を自然数とし，$n$分後にライトの色が白である確率を$P_n$，また，$n$分後にライトの色が赤である確率を$Q_n$とする．
(1)$\displaystyle P_2=\frac{[ア]}{[イ]},\ Q_2=\frac{[ウ]}{[エ]}$である．
(2)$P_n$および$Q_n$についての漸化式を利用すると，自然数$n$に対して，$n$が$3$以上のとき，
$\displaystyle P_n=\frac{[オ]}{[カ]} \left( [キ]-{\left( -\frac{[ク]}{[ケ]} \right)}^{n-1} \right)$
$\displaystyle Q_n=\frac{[コ]}{[サ]} \left( [シ]+\frac{[ス]}{[セ]} {\left( -\frac{[ソ]}{[タ]} \right)}^{n-1} \right)$
である．
私立 名城大学 2013年 第2問図に示す一辺の長さが$10a (a>0)$の正方形$\mathrm{ABCD}$がある．辺上を車両が動くとき，次の問に答えよ．
(1)車両$\mathrm{Q}$が，一定の速度$a$で点$\mathrm{C}$を出発し，点$\mathrm{D}$を経由して点$\mathrm{A}$まで動くものとする．出発時刻を$t=0$とし，時間$t$経過後の点$\mathrm{A}$と車両$\mathrm{Q}$との直線距離を$t$と$a$を用いて表せ．
(2)$(1)$の条件下で，点$\mathrm{A}$と車両$\mathrm{Q}$との間で通信が行われる．通信に必要な電力$y$は，$2$点間の直線距離の$2$乗である．時間$t$経過後の電力$y$の変化を横軸に$t$，縦軸を$y$としたグラフに示せ．
(3)$(1)$の条件下で，車両$\mathrm{P}$が，一定の速度$a$で点$\mathrm{A}$を出発し，点$\mathrm{B}$を経由して点$\mathrm{C}$へ向かうものとする．出発時刻を$t=0$とし，時間$t$経過後の車両$\mathrm{P}$と車両$\mathrm{Q}$との直線距離の$2$乗$z$の変化を横軸に$t$，縦軸を$z$としたグラフに示せ．
（図は省略）
(1)車両$\mathrm{Q}$が，一定の速度$a$で点$\mathrm{C}$を出発し，点$\mathrm{D}$を経由して点$\mathrm{A}$まで動くものとする．出発時刻を$t=0$とし，時間$t$経過後の点$\mathrm{A}$と車両$\mathrm{Q}$との直線距離を$t$と$a$を用いて表せ．
(2)$(1)$の条件下で，点$\mathrm{A}$と車両$\mathrm{Q}$との間で通信が行われる．通信に必要な電力$y$は，$2$点間の直線距離の$2$乗である．時間$t$経過後の電力$y$の変化を横軸に$t$，縦軸を$y$としたグラフに示せ．
(3)$(1)$の条件下で，車両$\mathrm{P}$が，一定の速度$a$で点$\mathrm{A}$を出発し，点$\mathrm{B}$を経由して点$\mathrm{C}$へ向かうものとする．出発時刻を$t=0$とし，時間$t$経過後の車両$\mathrm{P}$と車両$\mathrm{Q}$との直線距離の$2$乗$z$の変化を横軸に$t$，縦軸を$z$としたグラフに示せ．
（図は省略）
私立 立教大学 2011年 第2問$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$の$2$名が次のようなルールのゲームを行った．
$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$で同時にサイコロを振り，偶数が出た場合は得点を$1$とし，奇数が出た場合は得点を$0$とする．
それぞれが$5$回サイコロを振り終わった時点で，より多くの得点をあげたものを勝者とし，得点が同じ場合は引き分けとする．
このとき，次の問に答えよ．
(1)$\mathrm{A}$の得点が$0$点かつ$\mathrm{B}$の得点が$1$点という経過の後で，終了時に$\mathrm{A}$の得点が$4$点である場合，得点の取り方は何通りあるか．
(2)$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$が引き分ける確率を求めよ．
(3)$\mathrm{A}$が勝利する確率を求めよ．
$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$で同時にサイコロを振り，偶数が出た場合は得点を$1$とし，奇数が出た場合は得点を$0$とする．
それぞれが$5$回サイコロを振り終わった時点で，より多くの得点をあげたものを勝者とし，得点が同じ場合は引き分けとする．
このとき，次の問に答えよ．
(1)$\mathrm{A}$の得点が$0$点かつ$\mathrm{B}$の得点が$1$点という経過の後で，終了時に$\mathrm{A}$の得点が$4$点である場合，得点の取り方は何通りあるか．
(2)$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$が引き分ける確率を求めよ．
(3)$\mathrm{A}$が勝利する確率を求めよ．
国立 長崎大学 2010年 第4問$a$を$a>1$を満たす定数とする．原点Oと点P$(1,\ 0)$を線分で結び，点Pと点Q$(a,\ \log a)$を曲線$y=\log x$で結ぶ．このようにして得られる曲線OPQを，$y$軸の周りに1回転させてできる立体の容器を考える．ただし，OPを含む部分を底面として，水平に置くものとする．次の問いに答えよ．
(1)この容器の容積$V$を$a$を用いて表せ．
(2)$m$を正の定数とする．この容器に，単位時間あたり$m$の水を一定の割合で注ぎ入れる．ただし，最初は水が全く入っていない状態とする．注ぎ始めてから時間$\displaystyle t \ \left( 0<t<\frac{V}{m} \right)$が経過したとき，底面から水面までの高さを$h$，水面の上昇する速度を$v$とする．$h$および$v$を$m,\ t$を用いて表せ．
(1)この容器の容積$V$を$a$を用いて表せ．
(2)$m$を正の定数とする．この容器に，単位時間あたり$m$の水を一定の割合で注ぎ入れる．ただし，最初は水が全く入っていない状態とする．注ぎ始めてから時間$\displaystyle t \ \left( 0<t<\frac{V}{m} \right)$が経過したとき，底面から水面までの高さを$h$，水面の上昇する速度を$v$とする．$h$および$v$を$m,\ t$を用いて表せ．