タグ「経路」の検索結果

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島根大学 国立 島根大学 2016年 第1問
$n$を自然数とする.下図のように,$3$本の平行な道路$\ell_1$,$\ell_2$,$\ell_3$があり,$\ell_1,\ \ell_2$をつなぐ縦の道と,$\ell_2,\ \ell_3$をつなぐ縦の道がそれぞれ$n$本ずつ,交互に配置されているとする.
(図は省略)
次の規則に従い図の$\mathrm{X}$から出発して$\mathrm{P}_n$,$\mathrm{Q}_n$,$\mathrm{R}_n$に到達する経路の個数をそれぞれ$a_n$,$b_n$,$c_n$とする.


\mon[(規則)] $\ell_1$,$\ell_2$,$\ell_3$は一方通行であり,西方向には進むことができない.また,一度通った縦の道を再び通ることもできない.

次の問いに答えよ.

(1)$a_2,\ b_2$を求めよ.
(2)$a_{n+1}$を$a_n,\ b_n$を用いて表せ.
(3)$b_n=c_n$が成り立つことを証明せよ.
(4)$a_1,\ b_1,\ a_2,\ b_2,\ \cdots,\ a_k,\ b_k,\ \cdots$と順に並べてできる数列を$\{f_n\} (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$とする.$f_{n+2}$を$f_n$,$f_{n+1}$を用いて表せ.また,それを用いて$a_7$を求めよ.
京都大学 国立 京都大学 2015年 第3問
$6$個の点$\mathrm{A}$,$\mathrm{B}$,$\mathrm{C}$,$\mathrm{D}$,$\mathrm{E}$,$\mathrm{F}$が下図のように長さ$1$の線分で結ばれているとする.各線分をそれぞれ独立に確率$\displaystyle \frac{1}{2}$で赤または黒で塗る.赤く塗られた線分だけを通って点$\mathrm{A}$から点$\mathrm{E}$に至る経路がある場合はそのうちで最短のものの長さを$X$とする.そのような経路がない場合は$X$を$0$とする.このとき,$n=0,\ 2,\ 4$について,$X=n$となる確率を求めよ.
(図は省略)
小樽商科大学 国立 小樽商科大学 2015年 第3問
次の$[ ]$の中を適当に補え.

(1)整数$m \geqq 2015$に対し,
\[ \frac{1}{2^2-1}+\frac{1}{4^2-1}+\frac{1}{6^2-1}+\cdots +\frac{1}{{(2m)}^2-1}=[ア] \]
(2)下図のような道に沿って$\mathrm{A}$地点から$\mathrm{B}$地点まで進むとき,最短経路は何通りあるかを求めると$[イ]$通り.
(図は省略)
(3)中心が$\mathrm{A}(1,\ 0)$にある半径$r (0<r<1)$の円に原点$\mathrm{O}$から$2$本の接線を引く.それぞれの接点と中心$\mathrm{A}$と原点$\mathrm{O}$を頂点とする四角形の面積の最大値$M$とそのときの$r$の値を求めると$(M,\ r)=[ウ]$.
中京大学 私立 中京大学 2015年 第6問
下の図のような道があり,$\mathrm{A}_0$から$\mathrm{A}_n$($n$は$4$以下の自然数)まで行く最短経路の総数を$a_n$とするとき,$a_2=[ア]$,$a_3=[イウ]$,$a_4=[エオ]$である.
(図は省略)
北海道大学 国立 北海道大学 2014年 第4問
図のような格子状の道路がある.$\mathrm{S}$地点を出発して,東または北に進んで$\mathrm{G}$地点に到達する経路を考える.ただし太い実線で描かれた区間$a$を通り抜けるのに$1$分,点線で描かれた区間$b$を通り抜けるのに$8$分,それ以外の各区間を通り抜けるのに$2$分かかるものとする.たとえば,図の矢印に沿った経路では$S$を出発し$\mathrm{G}$に到達するまでに$16$分かかる.
(図は省略)

(1)$a$を通り抜ける経路は何通りあるか.
(2)$a$を通り抜けずに$b$を通り抜ける経路は何通りあるか.
(3)すべての経路から任意に$1$つ選んだとき,$\mathrm{S}$地点から$\mathrm{G}$地点に到達するのにかかる時間の期待値を求めよ.
北海道大学 国立 北海道大学 2014年 第4問
図のような格子状の道路がある.$\mathrm{S}$地点を出発して,東または北に進んで$\mathrm{G}$地点に到達する経路を考える.ただし太い実線で描かれた区間$a$を通り抜けるのに$1$分,点線で描かれた区間$b$を通り抜けるのに$8$分,それ以外の各区間を通り抜けるのに$2$分かかるものとする.たとえば,図の矢印に沿った経路では$S$を出発し$\mathrm{G}$に到達するまでに$16$分かかる.
(図は省略)

(1)$a$を通り抜ける経路は何通りあるか.
(2)$a$を通り抜けずに$b$を通り抜ける経路は何通りあるか.
(3)すべての経路から任意に$1$つ選んだとき,$\mathrm{S}$地点から$\mathrm{G}$地点に到達するのにかかる時間の期待値を求めよ.
早稲田大学 私立 早稲田大学 2014年 第1問
下図のように,$1$辺の長さ$5$の正方形$\mathrm{ABCD}$が,$1$辺の長さ$1$の正方形からなる格子で区画されている.点$\mathrm{P}$は,$\mathrm{A}$から出発して次のルールに従って格子の上を動くものとする.$\mathrm{X}$と記したカードと,$\mathrm{Y}$と記したカード$5$枚ずつを,よくシャッフルして上から順にカードをめくる.$\mathrm{X}$と記したカードが出た場合は図の$\mathrm{X}$方向,$\mathrm{Y}$と記したカードが出た場合は図の$\mathrm{Y}$方向に$1$だけ動く.すべてのカードがめくり終わると,点$\mathrm{P}$は$\mathrm{C}$に到達していることになる.このとき,点$\mathrm{P}$の動いた経路と,線分$\mathrm{AB}$,線分$\mathrm{BC}$で囲まれる部分の面積を$S_1$,点$\mathrm{P}$の動いた経路と,線分$\mathrm{AD}$,線分$\mathrm{DC}$で囲まれる部分の面積を$S_2$とする.以下の問に答えよ.

(1)カードが$\mathrm{YXYXXYYYXX}$の順に出たとき
\[ S_1=[ア],\quad S_2=[イ] \]
である.
(2)$|S_1-S_2| \geqq 19$となる確率は$\displaystyle \frac{[ウ]}{[エ]}$である.
(図は省略)
早稲田大学 私立 早稲田大学 2014年 第1問
下図のように,$1$辺の長さ$5$の正方形$\mathrm{ABCD}$が,$1$辺の長さ$1$の正方形からなる格子で区画されている.点$\mathrm{P}$は,$\mathrm{A}$から出発して次のルールに従って格子の上を動くものとする.$\mathrm{X}$と記したカードと,$\mathrm{Y}$と記したカード$5$枚ずつを,よくシャッフルして上から順にカードをめくる.$\mathrm{X}$と記したカードが出た場合は図の$\mathrm{X}$方向,$\mathrm{Y}$と記したカードが出た場合は図の$\mathrm{Y}$方向に$1$だけ動く.すべてのカードがめくり終わると,点$\mathrm{P}$は$\mathrm{C}$に到達していることになる.このとき,点$\mathrm{P}$の動いた経路と,線分$\mathrm{AB}$,線分$\mathrm{BC}$で囲まれる部分の面積を$S_1$,点$\mathrm{P}$の動いた経路と,線分$\mathrm{AD}$,線分$\mathrm{DC}$で囲まれる部分の面積を$S_2$とする.以下の問に答えよ.

(1)カードが$\mathrm{YXYXXYYYXX}$の順に出たとき
\[ S_1=[ア],\quad S_2=[イ] \]
である.
(2)$|S_1-S_2| \geqq 19$となる確率は$\displaystyle \frac{[ウ]}{[エ]}$である.
(図は省略)
久留米大学 私立 久留米大学 2014年 第2問
$xy$平面上において,原点を通り傾きが正の直線を$\ell$とする.直線$\ell$上の$y$座標が$1$の点に,$x$軸の正の方向から$x$軸に平行な光線を入射したとき,光線は直線$\ell$と$x$軸で次々と反射を繰り返し,$n$回目に反射した後,入射した経路を逆に進んだとする.このときの直線$\ell$と$x$軸とのなす角を$\theta$とする.直線$\ell$での最初の反射を$1$回目,反射した点を$\mathrm{P}_1$とし,その後光線が反射した点を$\mathrm{P}_2,\ \mathrm{P}_3,\ \cdots,\ \mathrm{P}_n$とする.また,$0^\circ<\theta<{90}^\circ$とする.

(1)$\theta={30}^\circ$のときの$\mathrm{P}_n$の座標は$[$4$]$である.
(2)$\theta$のうち,その値が整数となるものは全部で$[$5$]$個ある.
(3)$\mathrm{P}_1$から$\mathrm{P}_n$までの光の経路の長さは$[$6$]$である.
慶應義塾大学 私立 慶應義塾大学 2014年 第4問
$r>0$とする.座標平面上の原点以外の点に対し,$2$種類の移動$\mathrm{A}$,$\mathrm{B}$を以下のように定める.

移動$\mathrm{A} \ \cdots \ (r \cos \theta,\ r \sin \theta)$にある点が$\displaystyle \left( r \cos \left( \theta+\frac{\pi}{6} \right),\ r \sin \left( \theta+\frac{\pi}{6} \right) \right)$に動く.

移動$\mathrm{B} \ \cdots \ (r \cos \theta,\ r \sin \theta)$にある点が$((r+1) \cos \theta,\ (r+1) \sin \theta)$に動く.

(図は省略)
動点$\mathrm{K}$は点$(1,\ 0)$を出発し,上記$\mathrm{A}$,$\mathrm{B}$いずれかの移動をくり返しながら座標平面上を動くとする.

(1)動点$\mathrm{K}$が$\mathrm{B}$,$\mathrm{A}$,$\mathrm{B}$,$\mathrm{B}$の順に$4$回の移動を行ったとき,到達する点の座標は$([$49$] \sqrt{[$50$]},\ [$51$])$である.
(2)動点$\mathrm{K}$が$7$回の移動で点$(0,\ 5)$に到達する経路は$[$52$][$53$]$通りあり,そのうち点$\displaystyle \left( \frac{3}{2},\ \frac{3 \sqrt{3}}{2} \right)$を{\bf 通らない}ものは$[$54$][$55$]$通りある.

以下,$p$を$0 \leqq p \leqq 1$を満たす定数とする.動点$\mathrm{K}$は各回の移動において,確率$p$で移動$\mathrm{A}$を,確率$1-p$で移動$\mathrm{B}$を行うものとする.

(3)動点$\mathrm{K}$が$5$回の移動で到達する点の座標が$(0,\ 3)$である確率$P$を,$p$を用いた式で表しなさい.
(4)動点$\mathrm{K}$が$3$回の移動で到達する点の$y$座標を$a$とするとき,$a^2$の期待値$E$を$p$を用いた式で表しなさい.
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