「終点」について
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私立 学習院大学 2014年 第3問座標平面上に，始点が原点で終点の$y$座標が$1$に等しい$2$つのベクトル$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$がある．$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$のなす角度を$\theta (0^\circ \leqq \theta \leqq {180}^\circ)$とするとき，等式
\[ \sin \theta =\frac{|\overrightarrow{a|-\overrightarrow{b}}}{|\overrightarrow{a|} |\overrightarrow{b|}} \]
が成り立つことを示せ．
\[ \sin \theta =\frac{|\overrightarrow{a|-\overrightarrow{b}}}{|\overrightarrow{a|} |\overrightarrow{b|}} \]
が成り立つことを示せ．
私立 西南学院大学 2012年 第5問同一直線上にない$3$点$\mathrm{O}$，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$がある．$\mathrm{O}$を原点として，以下の問に答えよ．
(1)線分$\mathrm{AB}$を$m:n$に内分する点$\mathrm{P}$の位置ベクトルは
\[ \overrightarrow{\mathrm{OP}}=\frac{n}{m+n} \overrightarrow{\mathrm{OA}}+\frac{m}{m+n} \overrightarrow{\mathrm{OB}} \]
で表されることを示せ．
(2)$\alpha,\ \beta$を実数として，点$\mathrm{Q}$を
\[ \overrightarrow{\mathrm{OQ}}=\alpha \overrightarrow{\mathrm{OA}}+\beta \overrightarrow{\mathrm{OB}} \]
で表されるベクトルの終点とする．$\alpha,\ \beta$が次のそれぞれの関係式を満たすとき，点$\mathrm{Q}$の存在範囲を図示せよ．ただし，結果に至るプロセスも示すこと．
\mon[$①$] $\alpha \geqq 0,\ \beta \geqq 0,\ \alpha+\beta=1$
\mon[$②$] $\alpha \geqq 0,\ \beta \geqq 0,\ \alpha+\beta \leqq 1$
\mon[$③$] $\alpha \geqq 0,\ \beta \geqq 0,\ 1 \leqq \alpha+\beta \leqq 2$
(1)線分$\mathrm{AB}$を$m:n$に内分する点$\mathrm{P}$の位置ベクトルは
\[ \overrightarrow{\mathrm{OP}}=\frac{n}{m+n} \overrightarrow{\mathrm{OA}}+\frac{m}{m+n} \overrightarrow{\mathrm{OB}} \]
で表されることを示せ．
(2)$\alpha,\ \beta$を実数として，点$\mathrm{Q}$を
\[ \overrightarrow{\mathrm{OQ}}=\alpha \overrightarrow{\mathrm{OA}}+\beta \overrightarrow{\mathrm{OB}} \]
で表されるベクトルの終点とする．$\alpha,\ \beta$が次のそれぞれの関係式を満たすとき，点$\mathrm{Q}$の存在範囲を図示せよ．ただし，結果に至るプロセスも示すこと．
\mon[$①$] $\alpha \geqq 0,\ \beta \geqq 0,\ \alpha+\beta=1$
\mon[$②$] $\alpha \geqq 0,\ \beta \geqq 0,\ \alpha+\beta \leqq 1$
\mon[$③$] $\alpha \geqq 0,\ \beta \geqq 0,\ 1 \leqq \alpha+\beta \leqq 2$