$n$を自然数とする．$1$枚のコインを投げ続けて，裏が出た時点で終了するゲームを行う．ただし，$n$回続けて表が出たときもゲームは終了するものとする．このゲームで出た表の数を$p$とするとき，次のように得点を与える．

$p=0$ならば得点は$0$
$p \geqq 1$ならば得点は$3^p$である．

得点の期待値を求めよ．

$\mathrm{X}$と$\mathrm{Y}$の$2$人が，次のゲームを繰り返し行う．
\begin{itemize}
$\mathrm{X}$と$\mathrm{Y}$それぞれが，所持しているすべての硬貨を同時に投げる．
表が出た硬貨の枚数が多い方を勝ちとし，枚数が同じ場合は引き分けとする．
勝った方は，負けた方から硬貨を$1$枚もらう．また引き分けの場合は，硬貨のやりとりはしない．
\end{itemize}
ゲーム開始時に，$\mathrm{X}$は$3$枚，$\mathrm{Y}$は$2$枚の硬貨を所持している．このとき以下の設問に答えよ．

(1)$1$回目のゲームが終了したとき，$\mathrm{X}$の所持する硬貨が$4$枚になる確率を求めよ．
(2)$2$回目のゲームが終了したとき，$\mathrm{X}$の所持する硬貨が$5$枚になる確率を求めよ．

$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$の$2$人がじゃんけんを繰り返すゲームをする．$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$のどちらかが$2$回多く勝った時点でゲームは終了とする．$1$回のじゃんけんで$\mathrm{A}$が勝つ確率，$\mathrm{B}$が勝つ確率，あいこの確率はいずれも$\displaystyle \frac{1}{3}$である．自然数$n$に対して，じゃんけんを$n$回行った時点でちょうどゲームが終了となる確率を$p_n$とおく．また，じゃんけんを$n$回行った時点で$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$のどちらかが$1$回多く勝っている確率を$q_n$とおき，ともに同じ回数だけ勝っている確率を$r_n$とおく．以下の問いに答えよ．

(1)$p_1,\ q_1$および$r_1$の値を求めよ．
(2)$n \geqq 2$のとき，$p_n$を$q_{n-1}$を用いて表せ．
(3)$n \geqq 2$のとき，$q_n,\ r_n$のそれぞれを$q_{n-1}$と$r_{n-1}$を用いて表せ．
(4)$n \geqq 2$のとき$q_n+kr_n=l(q_{n-1}+kr_{n-1})$を満たす実数$k,\ l$の値を$2$組求めよ．
(5)$(4)$で求めた$k,\ l$の値の$2$組を$k_1,\ l_1$と$k_2,\ l_2$とおく．ただし$k_1<k_2$とする．数列$\{q_n+k_1r_n\}$，数列$\{q_n+k_2r_n\}$，数列$\{q_n\}$，数列$\{r_n\}$の一般項をそれぞれ$l_1,\ l_2$および$n$を用いて表せ．
(6)数列$\{p_n\}$の一般項を$l_1,\ l_2$および$n$を用いて表せ．

次の問いに答えよ．

(1)$1$枚の硬貨をくり返し投げるゲームを行う．このゲームを，表がちょうど$4$回出たところ，または，裏がちょうど$4$回出たところで終了することにする．ただし，硬貨を投げたとき，表が出る確率と裏が出る確率はいずれも$\displaystyle \frac{1}{2}$である．

(i) 硬貨を$k$回投げたところで終了する確率を$p_k$とすると，
\[ p_4=\frac{[ア]}{[イ]},\quad p_5=\frac{[ウ]}{[エ]},\quad p_7=\frac{[オ]}{[カ][キ]} \]
である．
(ii) このゲームが終了するまでに硬貨を投げる回数の期待値は
\[ \frac{[ク][ケ]}{[コ][サ]} \]
である．

(2)$0^\circ \leqq \theta \leqq 180^\circ$の$\theta$に対して，$x$に関する$2$次方程式
\[ x^2+(\sqrt{2} \sin 2\theta)x+2 \cos \theta=0 \]
を考える．

(i) この方程式が異なる$2$つの実数解をもつのは，
\[ [ア][イ]^\circ<\theta \leqq [ウ][エ][オ]^\circ \]
のときである．

以下，この方程式が異なる$2$つの実数解をもつ場合について考え，この$2$つの実数解を$\alpha,\ \beta$とする．

(ii) 無限等比級数
\[ 1+\left( \frac{1}{\alpha}+\frac{1}{\beta} \right)+\left( \frac{1}{\alpha}+\frac{1}{\beta} \right)^2+\cdots +\left( \frac{1}{\alpha}+\frac{1}{\beta} \right)^n+\cdots \]
が収束するのは，
\[ [カ][キ][ク]^\circ<\theta \leqq [ケ][コ][サ]^\circ \]
のときである．
(iii) 無限等比級数
\[ 1+\left( \frac{1}{\alpha}+\frac{1}{\beta} \right)+\left( \frac{1}{\alpha}+\frac{1}{\beta} \right)^2+\cdots +\left( \frac{1}{\alpha}+\frac{1}{\beta} \right)^n+\cdots \]
が収束して，その和が$2-\sqrt{2}$となるのは，
\[ \theta=[シ][ス][セ]^\circ \]
のときである．

(3)$\triangle \mathrm{OAB}$において，辺$\mathrm{AB}$を$2:1$の比に内分する点を$\mathrm{C}$（$\mathrm{AC}:\mathrm{CB}=2:1$），線分$\mathrm{OC}$を$1:2$の比に内分する点を$\mathrm{D}$（$\mathrm{OD}:\mathrm{DC}=1:2$）とする．辺$\mathrm{OA}$上に点$\mathrm{P}$を，辺$\mathrm{OB}$上に点$\mathrm{Q}$を，線分$\mathrm{PQ}$が点$\mathrm{D}$を通るようにとる．

(i) $\displaystyle \frac{\mathrm{OA}}{\mathrm{OP}}+2 \times \frac{\mathrm{OB}}{\mathrm{OQ}}=[ア]$である．


以下，$\mathrm{OA}=2$，$\mathrm{OB}=3$，$\angle \mathrm{AOB}=60^\circ$とする．


(ii) $\mathrm{OP}=1$のとき，$\triangle \mathrm{OPQ}$の面積は
\[ \frac{[イ]}{[ウ][エ]} \times \sqrt{[オ]} \]
である．
(iii) 線分$\mathrm{OP}$の長さと線分$\mathrm{OQ}$の長さの和$\mathrm{OP}+\mathrm{OQ}$がもっとも小さくなるように点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$をとるとき，
\[ \mathrm{OP}=\frac{[カ]+[キ] \sqrt{[ク]}}{[ケ]} \]
である．このとき，
\[ \mathrm{OP}+\mathrm{OQ}=\frac{[コ]+[サ] \sqrt{[シ]}}{[ス]} \]
である．

一辺の長さ$1$の正六角形の頂点を時計まわりの順に$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$，$\mathrm{D}$，$\mathrm{E}$，$\mathrm{F}$とする．動点$\mathrm{P}$は最初は点$\mathrm{A}$上にある．コインを投げ，表が出たら$2$，裏が出たら$1$だけ$\mathrm{P}$を正六角形上で時計まわりに動かすゲームを考える．動点$\mathrm{P}$が最初にちょうど点$\mathrm{A}$上に戻ったときゲーム終了とする．


(1)ちょうど$1$周してゲーム終了となる確率は$\displaystyle \frac{[ア][イ]}{[ウ][エ]}$である．

(2)ちょうど$2$周してゲーム終了となる確率は$\displaystyle \frac{[オ][カ][キ]}{\kakkofour{ク}{ケ}{コ}{サ}}$である．

サイコロを$1$の目が出るまで投げる．ただし，$5$回投げて$1$の目が出なければそこで止める．それまでに出たサイコロの目の和を得点とする．例えば，$2,\ 3,\ 1$の順で目が出れば$2+3+1=6$点，$2,\ 4,\ 3,\ 2,\ 6$ならば$2+4+3+2+6=17$点となる．このとき次の問いに答えよ．

(1)$4$以下の自然数$k$に対して，$k$回目に$1$の目が出て終了する確率を求めよ．
(2)得点が$1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5$点である確率$P(1)$，$P(2)$，$P(3)$，$P(4)$，$P(5)$をそれぞれ求めよ．
(3)得点が$27$点である確率$P(27)$を求めよ．

サイコロを$1$の目が出るまで投げる．ただし，$5$回投げて$1$の目が出なければそこで止める．それまでに出たサイコロの目の和を得点とする．例えば，$2,\ 3,\ 1$の順で目が出れば$2+3+1=6$点，$2,\ 4,\ 3,\ 2,\ 6$ならば$2+4+3+2+6=17$点となる．このとき次の問いに答えよ．

(1)$4$以下の自然数$k$に対して，$k$回目に$1$の目が出て終了する確率を求めよ．
(2)得点が$1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5$点である確率$P(1)$，$P(2)$，$P(3)$，$P(4)$，$P(5)$をそれぞれ求めよ．
(3)得点が$27$点である確率$P(27)$を求めよ．

$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$の$2$人が袋の中から玉を$1$つずつ交互に取り出すゲームを考える．最初に玉を取り出すのは$\mathrm{A}$で，また$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$はともに取り出した玉を袋に戻さない．

(1)初め袋の中には白玉が$(2n-2)$個（$n \geqq 1$），赤玉が$2$個入っているとする．$2$つ目の赤玉を取り出した方を勝ちとして終了するとき，$\mathrm{A}$が勝つ確率を求めよ．
(2)初め袋の中には白玉が$(2n-3)$個（$n \geqq 2$），赤玉が$2$個，黒玉が$1$個入っているとする．次の$(ⅰ)$と$(ⅱ)$にしたがって勝敗を決めるとき，$\mathrm{A}$が勝つ確率を求めよ．

(i) 一方が黒玉を取り出したときは，他方を勝ちとして終了する．
(ii) 一方が$2$つ目の赤玉を取り出したときは，その者を勝ちとして終了する．

$n$を$2$以上の自然数，$q$と$r$を自然数とする．$1$から$nq$までの番号がついた$nq$個の白玉，$1$から$nr$までの番号がついた$nr$個の赤玉を用意する．これら白玉と赤玉を，$1$番から$n$番まで番号づけられた$n$個の箱それぞれに，小さい番号から順に白玉は$q$個ずつ，赤玉は$r$個ずつ配分しておく．たとえば，$1$番目の箱には番号$1$から$q$の白玉と番号$1$から$r$までの赤玉が入っている．これら$n(q+r)$個の玉を$n$個の箱に以下のように再配分する．$1$番の箱から$1$個の玉を取り出して$2$番の箱に移し，次に$2$番の箱から$1$個の玉を取り出して$3$番の箱に移す．同様の操作を順次繰り返し最後に$n$番の箱に$1$個の玉を移して終了する．このようにして実現され得る再配分の総数を$s_n$とし，$n$番の箱の白玉が$q+1$個であるような再配分の総数を$a_n$とする．

(1)$s_2$を求めよ．
(2)$s_3$と$a_3$を求めよ．
(3)$s_4$と$a_4$を求めよ．

$n$を2以上の自然数，$q$と$r$を自然数とする．1から$nq$までの番号がついた$nq$個の白玉，1から$nr$までの番号がついた$nr$個の赤玉を用意する．これら白玉と赤玉を，1番から$n$番まで番号づけられた$n$個の箱それぞれに，小さい番号から順に白玉は$q$個ずつ，赤玉は$r$個ずつ配分しておく．たとえば，1番目の箱には番号1から$q$の白玉と番号1から$r$までの赤玉が入っている．これら$n(q+r)$個の玉を$n$個の箱に以下のように再配分する．1番の箱から1個の玉を取り出して2番の箱に移し，次に2番の箱から1個の玉を取り出して3番の箱に移す．同様の操作を順次繰り返し最後に$n$番の箱に1個の玉を移して終了する．このようにして実現され得る再配分の総数を$s_n$とし，$n$番の箱の白玉が$q+1$個であるような再配分の総数を$a_n$とする．

(1)$a_3$と$a_3$を求めよ．
(2)$s_n$を求めよ．
(3)$a_{n+1}-a_n$を求めよ．
(4)$a_n$を求めよ．