$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$の2人が，サイコロを1回ずつ交互に投げるゲームを行う．自分の出したサイコロの目を合計して先に6以上になった方を勝ちとし，その時点でゲームを終了する．$\mathrm{A}$から投げ始めるものとし，以下の問いに答えよ．

(1)$\mathrm{B}$がちょうど1回投げて$\mathrm{B}$が勝ちとなる確率を求めよ．
(2)$\mathrm{B}$がちょうど2回投げて$\mathrm{B}$が勝ちとなる確率を求めよ．
(3)$\mathrm{B}$がちょうど2回投げて，その時点でゲームが終了していない確率を求めよ．

$3$人でジャンケンをする．各人はグー，チョキ，パーをそれぞれ$\displaystyle \frac{1}{3}$の確率で出すものとする．負けた人は脱落し，残った人で次回のジャンケンを行い（アイコのときは誰も脱落しない），勝ち残りが$1$人になるまでジャンケンを続ける．このとき各回の試行は独立とする．$3$人でジャンケンを始め，ジャンケンが$n$回目まで続いて$n$回目終了時に$2$人が残っている確率を$p_n$，$3$人が残っている確率を$q_n$とおく．

(1)$p_1,\ q_1$を求めよ．
(2)$p_n,\ q_n$がみたす漸化式を導き，$p_n,\ q_n$の一般項を求めよ．
(3)ちょうど$n$回目で$1$人の勝ち残りが決まる確率を求めよ．

$3$人でジャンケンをする．各人はグー，チョキ，パーをそれぞれ$\displaystyle \frac{1}{3}$の確率で出すものとする．負けた人は脱落し，残った人で次回のジャンケンを行い（アイコのときは誰も脱落しない），勝ち残りが$1$人になるまでジャンケンを続ける．このとき各回の試行は独立とする．$3$人でジャンケンを始め，ジャンケンが$n$回目まで続いて$n$回目終了時に$2$人が残っている確率を$p_n$，$3$人が残っている確率を$q_n$とおく．

(1)$p_1,\ q_1$を求めよ．
(2)$p_n,\ q_n$がみたす漸化式を導き，$p_n,\ q_n$の一般項を求めよ．
(3)ちょうど$n$回目で$1$人の勝ち残りが決まる確率を求めよ．

さいころを連続して振るとき，

(1)同じ数が続けて$2$回でると終了とする．このとき，$n$回目で終わる確率は$[$25$]$である．ただし，$n \geqq 2$とする．
(2)$n$回目にでた数が，それ以前にでた数と一致すると終了とする．このとき，$n$回目で終わる確率は$[$26$]$である．ただし，$2 \leqq n \leqq 7$とする．

次の$[　]$に適する数または式を記入せよ．

サッカーの国際大会に日本，$\mathrm{A}$国および$\mathrm{B}$国の$3$ヶ国が参加し，優勝国は次のように決定される．
(i) $3$つの国のうち$2$つの国が試合をする．勝った国が残りの$1$つの国と試合をし， $2$連勝する国が生じるまで試合を繰り返す．この連勝国を優勝国とし，大会を終了する．
(ii) 各試合において，引き分けは無く，必ず勝敗が決まる．
日本が$\mathrm{A}$国，$\mathrm{B}$国に勝つ確率をそれぞれ$\displaystyle \frac{1}{2},\ \frac{1}{3}$とし，$\mathrm{A}$国が$\mathrm{B}$国に勝つ確率は$\displaystyle \frac{2}{3}$とする．第$1$戦は日本と$\mathrm{A}$国が対戦する．
第$2$戦で日本が優勝する確率は$[　]$であり，第$3$戦で日本が優勝する確率は$[　]$であり，第$4$戦で日本が優勝する確率は$[　]$であり，第$5$戦で日本が優勝する確率は$[　]$である．ゆえに第$3n+2$戦（$n$は$0$以上の整数）で日本が優勝する確率$p_n$は$p_n=[　]$となる．このとき$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \sum_{k=0}^n p_k=[　]$となる．一方，第$7$戦で日本が優勝する確率は$[　]$となる．第$3n+1$戦（$n$は$1$以上の整数）で日本が優勝する確率$q_n$は$q_n=[　]$となる．このとき$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^n q_k=[　]$となる．また第$3n$戦（$n$は$1$以上の整数）で日本が優勝する確率$r_n$は$r_n=[　]$となる．

箱の中に赤玉が$2$個，青玉が$3$個，白玉が$4$個入っている．

(1)この箱の中から$3$個の玉を同時に取り出したとき，全て同じ色である確率は$[ス]$である．
(2)この箱の中から$1$つずつ玉を取り出し，青玉が出たときに終了する．終了時に$4$個以上の玉を取り出している確率は$[セ]$である．ただし，取り出した玉は箱に戻さないものとする．
(3)この箱の中から$1$つずつ玉を取り出し，青玉が$3$個出たときに終了する．ちょうど玉を$5$個取り出したときに終了する確率は$[ソ]$である．ただし，取り出した玉はそのたびに箱に戻すものとする．

$1$辺の長さが$1$の正六角形$\mathrm{ABCDEF}$の辺上を動く点$\mathrm{P}$がある．頂点$\mathrm{A}$を出発して，さいころを振るごとに，奇数の目が出たときは時計回りに$1$動き，偶数の目が出たときは反時計回りに$2$動くという試行を繰り返し，再び頂点$\mathrm{A}$に戻ったとき試行を終了する．

(1)$3$回の試行すべてにおいて偶数の目が出て，試行を終了する確率を求めよ．
(2)$3$回の試行後，点$\mathrm{P}$が頂点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$，$\mathrm{D}$，$\mathrm{E}$，$\mathrm{F}$にいる確率をそれぞれ求めよ．
(3)$3k$回の試行後，試行を終了する確率を求めよ．ただし，$k$は正の整数とする．

$n$個のボールと，$1$から$n$までの番号がふられた$n$個の空の箱がある．また，$1$から$n$の番号が書かれた$n$枚のカードが袋の中に入っている．いま，以下の手順に従いボールを箱の中に入れていくことを考える．

手順$1$ \quad 袋からカードを$1$枚無作為に取り出して，手順$2$に進む．
手順$2$ \quad 手順$1$で取り出したカードに書かれている番号の箱が，
\begin{itemize}
空ならば，そこにボールを$1$つ入れて，手順$3$へ進む．
空でなければ，カードを袋に戻さず手元に置き，手順$1$に戻る．
\end{itemize}
手順$3$ \quad 手元のすべてのカードを袋に戻す．この時点で，
\begin{itemize}
すべての箱にボールが入っていれば終了する．
空の箱が$1$つでもあれば，手順$1$に戻る．
\end{itemize}

また，$1 \leqq k \leqq n$を満たす自然数$k$について，$k-1$個目のボールを箱に入れ終わった状態（ただし，$k=1$のときは，はじめの状態とする）の後に，
\begin{itemize}
次のボール，すなわち$k$個目のボールを箱に入れるまでにちょうど$i$枚のカードを袋から取り出す確率を$P_k(i)$とし，
$i$枚のカードを袋から取り出してもまだ次のボールを箱に入れることができない確率を$Q_k(i)$とする．ただし，$Q_k(0)=1$とする．
\end{itemize}
このとき，以下の問いに答えよ．

(1)$n=4$のとき$P_3(1)$，$P_3(2)$，$Q_3(2)$をそれぞれ求めよ．
(2)$Q_k(i)$を$P_k(i+1)$，$P_k(i+2)$，$\cdots$，$P_k(k)$を用いて表せ．ただし，$0 \leqq i \leqq k-1$とする．
(3)$k-1$個目のボールを箱に入れてから$k$個目のボールを箱に入れるまでに袋から取り出すカードの枚数の期待値$E_k$は$Q_k(0)+Q_k(1)+\cdots +Q_k(k-1)$であることを示せ．
(4)不等式
\[ E_k \leqq \frac{n}{n-k+1} \]
が成り立つことを示せ．
(5)不等式
\[ E_1+E_2+\cdots +E_n \leqq n+n \log n \]
が成り立つことを示せ．

$N$は$4$以上の整数とする．次の規則にしたがって$1$個のさいころを繰り返し投げる．

規則:出た目を毎回記録し，偶数の目が$3$回出るか，あるいは奇数の目が$N$回出たところで，さいころを投げる操作を終了する．

ただし，さいころの目の出方は同様に確からしいとする．次の問いに答えよ．

(1)さいころを投げる回数は，最大で何回か．
(2)さいころを$3$回投げて操作を終了する確率を求めよ．
(3)さいころを$N$回投げて操作を終了する確率を求めよ．
(4)最後に奇数の目が出て操作を終了する確率を求めよ．
(5)$N=4$のとき，さいころを投げる回数の期待値を求めよ．

袋の中に文字$\mathrm{K}$，$\mathrm{E}$，$\mathrm{I}$が書かれたカードがそれぞれ$1$枚ずつと，文字$\mathrm{O}$が書かれたカードが何枚か入っている．いま，袋の中から$1$枚ずつカードを取り出し，$\mathrm{K}$，$\mathrm{E}$，$\mathrm{I}$，$\mathrm{O}$のすべての文字のカードがそれぞれ$1$枚以上出たところで終了する．ただし，一度取り出したカードは袋の中には戻さないものとする．

(1)袋の中に文字$\mathrm{O}$が書かれたカードが$7$枚あり，合計$10$枚のカードが入っている場合を考える．$3$枚目に文字$\mathrm{O}$のカードを取り出す確率は$[ク]$であり，$1$枚目または$3$枚目に文字$\mathrm{O}$のカードを取り出す確率は$[ケ]$である．また，最後に取り出したカードに書かれている文字が$\mathrm{K}$である確率は$[コ]$である．
(2)袋の中に文字$\mathrm{O}$が書かれたカードが$n$枚（$n \geq 2$）あり，合計$n+3$枚のカードが入っている場合を考える．$k$枚目で終了する確率を$p_k$とすると，$p_4=[サ]$であり，$5 \leq k \leq n+3$に対しては$p_k=[シ]$である．いま，終了した時点で袋の中に残っているカードの枚数の期待値を$E_n$とすると，$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{E_n}{n}= [ス]$が成り立つ．