「終了」について
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国立 九州大学 2014年 第4問$\mathrm{A}$さんは$5$円硬貨を$3$枚，$\mathrm{B}$さんは$5$円硬貨を$1$枚と$10$円硬貨を$1$枚持っている．$2$人は自分が持っている硬貨すべてを一度に投げる．それぞれが投げた硬貨のうち表が出た硬貨の合計金額が多い方を勝ちとする．勝者は相手の裏が出た硬貨をすべてもらう．なお，表が出た硬貨の合計金額が同じときは引き分けとし，硬貨のやりとりは行わない．このゲームについて，以下の問いに答えよ．
(1)$\mathrm{A}$さんが$\mathrm{B}$さんに勝つ確率$p$，および引き分けとなる確率$q$をそれぞれ求めよ．
(2)ゲーム終了後に$\mathrm{A}$さんが持っている硬貨の合計金額の期待値$E$を求めよ．
(1)$\mathrm{A}$さんが$\mathrm{B}$さんに勝つ確率$p$，および引き分けとなる確率$q$をそれぞれ求めよ．
(2)ゲーム終了後に$\mathrm{A}$さんが持っている硬貨の合計金額の期待値$E$を求めよ．
国立 金沢大学 2014年 第2問$1$から$4$までの番号を書いた玉が$2$個ずつ，合計$8$個の玉が入った袋があり，この袋から玉を$1$個取り出すという操作を続けて行う．ただし，取り出した玉は袋に戻さず，また，すでに取り出した玉と同じ番号の玉が出てきた時点で一連の操作を終了するものとする．玉をちょうど$n$個取り出した時点で操作が終わる確率を$P(n)$とおく．次の問いに答えよ．
(1)$P(2),\ P(3)$を求めよ．
(2)$6$以上の$k$に対し，$P(k)=0$が成り立つことを示せ．
(3)一連の操作が終了するまでに取り出された玉の個数の期待値を求めよ．
(1)$P(2),\ P(3)$を求めよ．
(2)$6$以上の$k$に対し，$P(k)=0$が成り立つことを示せ．
(3)一連の操作が終了するまでに取り出された玉の個数の期待値を求めよ．
国立 琉球大学 2014年 第4問$1$個のさいころを繰り返し投げて景品を当てるゲームを行う．景品は$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$の$2$種類あり，次の規則にしたがって景品をもらえるとする．
\begin{itemize}
出た目の数が$6$のときは，景品$\mathrm{A}$をもらえる．
出た目の数が$4,\ 5$のときは，景品$\mathrm{B}$をもらえる．
出た目の数が$1,\ 2,\ 3$のときは，景品はもらえない．
景品$\mathrm{A}$と景品$\mathrm{B}$の$2$種類とももらうことができたらゲームは終了する．
\end{itemize}
ちょうど$n$回さいころを投げ終わったところでゲームが終了する確率を$p_n$とする．次の問いに答えよ．
(1)$p_2$の値を求めよ．
(2)$n$を$2$以上の整数とする．$p_n$を$n$を用いて表せ．
(3)$n$を$2$以上の整数とする．不等式
\[ p_{n+1}-p_n<\frac{2}{3}(p_n-p_{n-1}) \]
を示せ．ただし，$p_1=0$とする．
\begin{itemize}
出た目の数が$6$のときは，景品$\mathrm{A}$をもらえる．
出た目の数が$4,\ 5$のときは，景品$\mathrm{B}$をもらえる．
出た目の数が$1,\ 2,\ 3$のときは，景品はもらえない．
景品$\mathrm{A}$と景品$\mathrm{B}$の$2$種類とももらうことができたらゲームは終了する．
\end{itemize}
ちょうど$n$回さいころを投げ終わったところでゲームが終了する確率を$p_n$とする．次の問いに答えよ．
(1)$p_2$の値を求めよ．
(2)$n$を$2$以上の整数とする．$p_n$を$n$を用いて表せ．
(3)$n$を$2$以上の整数とする．不等式
\[ p_{n+1}-p_n<\frac{2}{3}(p_n-p_{n-1}) \]
を示せ．ただし，$p_1=0$とする．
国立 高知大学 2014年 第4問$k$は$1$以上の整数であるとする．連続した整数が書かれた$2^k-1$枚のカードが$1$組あり，その中に無作為に選ばれた当たりが一枚だけ含まれているとする．次のようなルールで当たりのカードにたどりつくことを考える．
(i) カードのうち，ちょうど真ん中の整数の書かれたカードをひく．それが当たりなら終了する．
(ii) ハズレならば，真ん中の整数より大きいカードの組と小さいカードの組に分ける．
(iii) 当たりのカードの含まれた組を教えてもらい，その組に対して，$(ⅰ)$に戻って繰り返す．
このルールのもとで，ひいたカードの枚数の期待値を$E_k$とおく．このとき，次の問いに答えなさい．
(1)$E_1,\ E_2,\ E_3,\ E_4$を求めよ．
(2)$E_{k+1}$を$E_k$を用いて表せ．
(3)$\displaystyle d_k=E_k-\frac{1}{{2}^{k}}(E_k+1)$とおくとき，$d_k$のみたす漸化式を求めよ．
(4)$E_k$を求めよ．
(5)$\displaystyle \lim_{k \to \infty}(E_k-k)$を求めよ．ただし，$\displaystyle \lim_{k \to \infty} \frac{k}{{2}^{k}}=0$であることを用いてもよい．
(i) カードのうち，ちょうど真ん中の整数の書かれたカードをひく．それが当たりなら終了する．
(ii) ハズレならば，真ん中の整数より大きいカードの組と小さいカードの組に分ける．
(iii) 当たりのカードの含まれた組を教えてもらい，その組に対して，$(ⅰ)$に戻って繰り返す．
このルールのもとで，ひいたカードの枚数の期待値を$E_k$とおく．このとき，次の問いに答えなさい．
(1)$E_1,\ E_2,\ E_3,\ E_4$を求めよ．
(2)$E_{k+1}$を$E_k$を用いて表せ．
(3)$\displaystyle d_k=E_k-\frac{1}{{2}^{k}}(E_k+1)$とおくとき，$d_k$のみたす漸化式を求めよ．
(4)$E_k$を求めよ．
(5)$\displaystyle \lim_{k \to \infty}(E_k-k)$を求めよ．ただし，$\displaystyle \lim_{k \to \infty} \frac{k}{{2}^{k}}=0$であることを用いてもよい．
私立 慶應義塾大学 2014年 第3問正六角形$\mathrm{ABCDEF}$の頂点$\mathrm{D}$と正六角形の外部の点$\mathrm{G}$を線分で結んだ下のような図形がある．動点$\mathrm{P}$はこの図形の線分上を動き，点から点へ移動する．動点$\mathrm{P}$の隣接する点への移動には$1$秒間を要する．また，隣接する点が複数あるときは，等しい確率でどれか$1$つの点に移動するものとする．
（図は省略）
(1)動点$\mathrm{P}$が$\mathrm{A}$から出発して$4$秒後に$\mathrm{G}$にいる確率は$\displaystyle \frac{[$53$]}{[$54$][$55$]}$である．
(2)動点$\mathrm{P}$が$\mathrm{A}$から出発して$5$秒後に$\mathrm{D}$にいる確率は$\displaystyle \frac{[$56$][$57$]}{[$58$][$59$]}$である．
(3)動点$\mathrm{P}$が$\mathrm{A}$から出発して$\mathrm{D}$に到達した時点で移動を終了するとき，$2n+1$秒以内に移動を終了する確率は$\displaystyle \frac{{[$60$]}^n-{[$61$]}^n}{{[$62$]}^n}$である．ただし，$n$は自然数とする．
（図は省略）
(1)動点$\mathrm{P}$が$\mathrm{A}$から出発して$4$秒後に$\mathrm{G}$にいる確率は$\displaystyle \frac{[$53$]}{[$54$][$55$]}$である．
(2)動点$\mathrm{P}$が$\mathrm{A}$から出発して$5$秒後に$\mathrm{D}$にいる確率は$\displaystyle \frac{[$56$][$57$]}{[$58$][$59$]}$である．
(3)動点$\mathrm{P}$が$\mathrm{A}$から出発して$\mathrm{D}$に到達した時点で移動を終了するとき，$2n+1$秒以内に移動を終了する確率は$\displaystyle \frac{{[$60$]}^n-{[$61$]}^n}{{[$62$]}^n}$である．ただし，$n$は自然数とする．
私立 津田塾大学 2014年 第4問次のようなゲームを考える．袋の中に赤玉，白玉，青玉が$3$個ずつ入っている．袋の中から玉を$1$個ずつ取り出し，取り出した玉はもとに戻さないものとする．取り出した玉の色が赤，白，青ならば，それぞれ$3$点，$1$点，$-2$点を得るものとする．得た点の合計が$4$点以上になったとき，ゲームを終了する．以下の問いに答えよ．
(1)玉を$2$回取り出したときの合計点数の期待値（平均）を求めよ．
(2)ゲームが終了するまでに玉を$4$回以上取り出す確率を求めよ．
(1)玉を$2$回取り出したときの合計点数の期待値（平均）を求めよ．
(2)ゲームが終了するまでに玉を$4$回以上取り出す確率を求めよ．
私立 龍谷大学 2014年 第3問図のようなマス目で，初めに$\mathrm{S}$のマスにコマを置く．さいころをふり，下のルールに従ってコマを動かして，得点するゲームを行う．なお，$\mathrm{G}$のマスに入ったらゲームを終了する．
\begin{tabular}{|c|c|c|}
\hline
\phantom{$\mathrm{G}$} & $\mathrm{G}$ & \phantom{$\mathrm{G}$} \\ \hline
& $\mathrm{S}$ & \\ \hline
\end{tabular}
\begin{itemize}
コマを動かすルール
さいころの目 \qquad 動かし方
\qquad $1,\ 2,\ 3$ \qquad 上に$1$マス
\qquad \phantom{$1,\ $} $4$ \phantom{$,\ 3$} \qquad \ 右に$1$マス
\qquad \phantom{$1,\ $} $5$ \phantom{$,\ 3$} \qquad \ 左に$1$マス
\qquad \phantom{$1,\ $} $6$ \phantom{$,\ 3$} \qquad \ 動かさない
ただし，動かす先のマスがない場合はコマを動かさない．
得点のルール
$(ⅰ)$ $1$回目の試行で$\mathrm{G}$のマスに入ったときは$3$点とする．
$(ⅱ)$ $2$回目の試行で$\mathrm{G}$のマスに入ったときは$2$点とする．
$(ⅲ)$ $3$回目の試行で$\mathrm{G}$のマスに入ったときは$1$点とする．
$\tokeishi$ $3$回までの試行で$\mathrm{G}$のマスに入らなかったときは$0$点とし，ゲームを終了する．
\end{itemize}
(1)得点が$2$点の確率を求めなさい．
(2)得点が$0$点の確率を求めなさい．
\begin{tabular}{|c|c|c|}
\hline
\phantom{$\mathrm{G}$} & $\mathrm{G}$ & \phantom{$\mathrm{G}$} \\ \hline
& $\mathrm{S}$ & \\ \hline
\end{tabular}
\begin{itemize}
コマを動かすルール
さいころの目 \qquad 動かし方
\qquad $1,\ 2,\ 3$ \qquad 上に$1$マス
\qquad \phantom{$1,\ $} $4$ \phantom{$,\ 3$} \qquad \ 右に$1$マス
\qquad \phantom{$1,\ $} $5$ \phantom{$,\ 3$} \qquad \ 左に$1$マス
\qquad \phantom{$1,\ $} $6$ \phantom{$,\ 3$} \qquad \ 動かさない
ただし，動かす先のマスがない場合はコマを動かさない．
得点のルール
$(ⅰ)$ $1$回目の試行で$\mathrm{G}$のマスに入ったときは$3$点とする．
$(ⅱ)$ $2$回目の試行で$\mathrm{G}$のマスに入ったときは$2$点とする．
$(ⅲ)$ $3$回目の試行で$\mathrm{G}$のマスに入ったときは$1$点とする．
$\tokeishi$ $3$回までの試行で$\mathrm{G}$のマスに入らなかったときは$0$点とし，ゲームを終了する．
\end{itemize}
(1)得点が$2$点の確率を求めなさい．
(2)得点が$0$点の確率を求めなさい．
私立 早稲田大学 2014年 第1問次の空欄$[$1$]$から$[$6$]$にあてはまる数または数式を記入せよ．
(1)$3$次曲線$y=x^3-6x^2+11x-4$と直線$y=ax$が第$1$象限の相異なる$3$点で交わるような定数$a$の範囲は$[$1$]<a<[$2$]$である．
(2)硬貨を投げ，$3$回つづけて表が出たら終了する．$n$回以下で終了する場合の数を$f_n$とする．$f_{10}=[$3$]$である．
(3)不等式$\displaystyle \frac{a}{19}<\log_{10}7<\frac{b}{13}$を満たす最大の整数$a$と最小の整数$b$は$a=[$4$]$，$b=[$5$]$である．必要に応じて次の事実を用いてもよい．
\[ \begin{array}{lll}
7^1=7 & 7^2=49 & 7^3=343 \\
7^4=2401 & 7^5=16807 & 7^6=117649 \\
7^7=823543 & 7^8=5764801 & 7^9=40353607 \\
7^{10}=282475249 & 7^{11}=1977326743 & 7^{12}=13841287201 \\
7^{13}=96889010407 & 7^{14}=678223072849
\end{array} \]
(4)四面体$\mathrm{ABCD}$は，$4$つの面のどれも$3$辺の長さが$7,\ 8,\ 9$の三角形である．この四面体$\mathrm{ABCD}$の体積は$[$6$]$である．
(1)$3$次曲線$y=x^3-6x^2+11x-4$と直線$y=ax$が第$1$象限の相異なる$3$点で交わるような定数$a$の範囲は$[$1$]<a<[$2$]$である．
(2)硬貨を投げ，$3$回つづけて表が出たら終了する．$n$回以下で終了する場合の数を$f_n$とする．$f_{10}=[$3$]$である．
(3)不等式$\displaystyle \frac{a}{19}<\log_{10}7<\frac{b}{13}$を満たす最大の整数$a$と最小の整数$b$は$a=[$4$]$，$b=[$5$]$である．必要に応じて次の事実を用いてもよい．
\[ \begin{array}{lll}
7^1=7 & 7^2=49 & 7^3=343 \\
7^4=2401 & 7^5=16807 & 7^6=117649 \\
7^7=823543 & 7^8=5764801 & 7^9=40353607 \\
7^{10}=282475249 & 7^{11}=1977326743 & 7^{12}=13841287201 \\
7^{13}=96889010407 & 7^{14}=678223072849
\end{array} \]
(4)四面体$\mathrm{ABCD}$は，$4$つの面のどれも$3$辺の長さが$7,\ 8,\ 9$の三角形である．この四面体$\mathrm{ABCD}$の体積は$[$6$]$である．
私立 立教大学 2014年 第2問メダル$1$個を入れて，「一等賞」か「二等賞」か「はずれ」が出るゲーム機がある．一等賞だとメダル$10$個が戻り，二等賞だとメダル$2$個が戻り，はずれだとメダルは戻らない．二等賞が出る確率を$p$，はずれが出る確率を$q$とする．このとき，次の問に答えよ．
(1)メダルを$1$個もっている人が，$1$回ゲームをする．ゲーム終了後，手にしているメダルの個数の期待値を$p$と$q$を用いて表せ．
(2)メダルを$2$個もっている人が，$2$回ゲームをする．ゲーム終了後，$12$個のメダルを手にしている確率を$p$と$q$を用いて表せ．
(3)メダルを$3$個もっている人が，$3$回ゲームをする．ゲーム終了後，$12$個のメダルを手にしている確率を$p$と$q$を用いて表せ．
(4)メダルを$5$個もっている人が，$5$回ゲームをする．ゲーム終了後，$10$個のメダルを手にしている確率を$p$と$q$を用いて表せ．
(5)メダルを$5$個もっている人が，メダルがなくなるまでゲームをする．ちょうど$7$回目でゲームが終了する確率を$p$と$q$を用いて表せ．
(1)メダルを$1$個もっている人が，$1$回ゲームをする．ゲーム終了後，手にしているメダルの個数の期待値を$p$と$q$を用いて表せ．
(2)メダルを$2$個もっている人が，$2$回ゲームをする．ゲーム終了後，$12$個のメダルを手にしている確率を$p$と$q$を用いて表せ．
(3)メダルを$3$個もっている人が，$3$回ゲームをする．ゲーム終了後，$12$個のメダルを手にしている確率を$p$と$q$を用いて表せ．
(4)メダルを$5$個もっている人が，$5$回ゲームをする．ゲーム終了後，$10$個のメダルを手にしている確率を$p$と$q$を用いて表せ．
(5)メダルを$5$個もっている人が，メダルがなくなるまでゲームをする．ちょうど$7$回目でゲームが終了する確率を$p$と$q$を用いて表せ．
国立 東北大学 2013年 第3問$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$の$2$人が，サイコロを$1$回ずつ交互に投げるゲームを行う．自分の出したサイコロの目を合計して先に$6$以上になった方を勝ちとし，その時点でゲームを終了する．$\mathrm{A}$から投げ始めるものとし，以下の問いに答えよ．
(1)$\mathrm{A}$がちょうど$2$回投げて$\mathrm{A}$が勝ちとなる確率を求めよ．
(2)$\mathrm{B}$がちょうど$2$回投げて$\mathrm{B}$が勝ちとなる確率を求めよ．
(3)$\mathrm{B}$がちょうど$3$回投げて，その時点でゲームが終了していない確率を求めよ．
(1)$\mathrm{A}$がちょうど$2$回投げて$\mathrm{A}$が勝ちとなる確率を求めよ．
(2)$\mathrm{B}$がちょうど$2$回投げて$\mathrm{B}$が勝ちとなる確率を求めよ．
(3)$\mathrm{B}$がちょうど$3$回投げて，その時点でゲームが終了していない確率を求めよ．