$s>0$，$t>0$とする．正の数からなる$2$つの数列$\{a_n\}$，$\{b_n\}$は初項と第$2$項が$a_1=b_1=s$，$a_2=b_2=t$であり，すべての自然数$n$に対して
\[ a_{n+2}=\frac{a_{n+1}+a_n}{2},\quad b_{n+2}=\sqrt{b_{n+1}b_n} \]
をみたすとする．次に答えよ．

(1)$a_3,\ b_3,\ a_4,\ b_4$を$s,\ t$を用いて表せ．
(2)自然数$n$に対して，$c_n=a_{n+1}-a_n$とおく．数列$\{c_n\}$は等比数列であることを示し，一般項を求めよ．さらに，数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ．
(3)自然数$n$に対して，$d_n=\log b_n$とおく．数列$\{d_n\}$の一般項を求めよ．さらに，数列$\{b_n\}$の一般項を$s$の累乗と$t$の累乗を用いて表せ．ただし，対数は自然対数とする．
(4)$\displaystyle \lim_{n \to \infty}a_n$と$\displaystyle \lim_{n \to \infty}b_n$を求めよ．
(5)$t=s$は$\displaystyle \lim_{n \to \infty}a_n=\lim_{n \to \infty}b_n$であるための必要十分条件であることを示せ．

以下の問いに答えよ．

(1)ド・モアブルの定理を用いて
\[ \sin (7\theta) \]
を$\sin \theta,\ \cos \theta$およびそれらの累乗で表わせ．
(2)$3$次方程式
\[ 7x^3-35x^2+21x-1=0 \]
を解け．
(3)和
\[ \frac{1}{\tan^2 \displaystyle\frac{\pi}{7}}+\frac{1}{\tan^2 \displaystyle\frac{2\pi}{7}}+\frac{1}{\tan^2 \displaystyle\frac{3\pi}{7}} \]
を求めよ．

次の問いに答えよ．

(1)$5!+4!+3!$の値を求めよ．
(2)$a \geqq 4$のとき，$a!+2$は$2$の累乗になり得ないことを示せ．
(3)$a \geqq 6$のとき，$\displaystyle \frac{a!}{2}+4$は$2$の累乗になり得ないことを示せ．
(4)$a \geqq b \geqq c$を満たす正の整数$a,\ b,\ c$について，
\[ S=a!+b!+c! \]
とする．$S$が$2$の累乗になる整数の組$(a,\ b,\ c)$をすべて求めよ．

表が出る確率が$\displaystyle q \ \left( q<\frac{1}{2} \right)$，裏が出る確率が$1-q$であるコインを使い，$xy$平面上の動点$P$を次の規則で動かす．
\begin{itemize}
動点$P$は原点から出発する．
コインを投げて表が出ると，$x$軸の正の方向に$1$移動する．
コインを投げて裏が出ると，$y$軸の正の方向に$1$移動する．
\end{itemize}
このコインを$4$回投げたとき，動点$P$が点$\mathrm{A}(2,\ 2)$に到着する確率は$\displaystyle \frac{8}{27}$である．このとき，以下の設問に答えよ．なお，解答の数値は分数および累乗のままでよい．

(1)このコインを$1$回投げたとき，表が出る確率$q$を求めよ．
(2)このコインを$8$回投げたとき，
動点$P$が，途中で点$\mathrm{A}(2,\ 2)$を通らずに，点$\mathrm{B}(4,\ 4)$に到着する確率
を求めよ．