$p$は奇数である素数とし，$N=(p+1)(p+3)(p+5)$とおく．

(1)$N$は$48$の倍数であることを示せ．
(2)$N$が$144$の倍数になるような$p$の値を，小さい順に$5$つ求めよ．

次の問いに答えよ．

(1)$\sqrt[3]{a^4} \times a^4 \times \sqrt[6]{a^2} \div (a \sqrt[3]{a^2})=a^{[ナ][ニ]}$
(2)$\log_3 108-3 \log_9 4+2 \log_9 6=[ヌ][ネ]$
(3)$2$個のさいころを同時に投げるとき，目の和が素数になる確率は$\displaystyle \frac{[ノ][ハ]}{12}$である．
(4)等比数列$\{a_n\}$の第$3$項は$12$，第$6$項は$96$である．この数列の初項から第$n$項までの和が$765$になった．このとき$n=[ヒ][フ]$である．
(5)平面上の$2$つのベクトル$\overrightarrow{a}=(4,\ 2)$と$\overrightarrow{b}=(2 \sqrt{3}-1,\ 2+\sqrt{3})$のなす角は$[ヘ][ホ]^\circ$である．

一般項が
\[ a_n=\frac{1}{\sqrt{13}} \left\{ \left( \frac{1+\sqrt{13}}{2} \right)^n-\left( \frac{1-\sqrt{13}}{2} \right)^n \right\} \]
で与えられた数列$\{a_n\}$を考える．

(1)この数列の初項$a_1$の値は$[ア]$，第$2$項$a_2$の値は$[イ]$である．
(2)この数列は，漸化式$a_{n+2}=a_{n+1}+[ウ]a_n (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$を満たす．
(3)この数列の第$7$項$a_7$の値は$[エオ]$である．
(4)この数列の初項から第$n$項までの和を$S_n$で表す．このとき
\[ a_{n+2}=[カ]+[キ]S_n \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
が成り立つ．
(5)この数列には，$1$桁の素数$[ク]$の倍数は現れない．
(6)$(4)$で与えられた$S_n$が$10000$以上となるような最小の$n$の値は$[ケコ]$である．

$x,\ y$を自然数，$p$を$3$以上の素数とするとき，次の各問に答えよ．ただし，$(1)$，$(3)$は答のみ解答欄に記入せよ．

(1)$x^2-y^2=p$が成り立つとき，$x,\ y$を$p$で表せ．
(2)$x^3-y^3=p$が成り立つとき，$p$を$6$で割った余りが$1$となることを証明せよ．
(3)$x^3-y^3=p$が自然数の解の組$(x,\ y)$をもつような$p$を，小さい数から順に$p_1$，$p_2$，$p_3$，$\cdots$とするとき，$p_5$の値を求めよ．

正二十面体のサイコロを考える．各面に$1$から$20$までの整数が一つずつ書いてある．

(1)このサイコロを$1$回ふるとき，出る目の数が素数である確率を求めよ．
(2)このサイコロを$1$回ふるとき，出る目の数が$3$の倍数である確率を求めよ．
(3)このようなサイコロを$2$回ふるとき，出る目の数の積が$3$の倍数であって$9$の倍数でない確率を求めよ．

$[シ]$の解答は解答群の中から最も適当なものを$1$つ選べ．

$n$を$100$以下の自然数とし，$n$の約数の個数を$f(n)$，空集合を$\phi$とする．

(1)$f(48)=[アイ]$であり，$f(n)=9$を満たす最小の自然数は$n=[ウエ]$である．$f(n)=5$を満たす$n$の個数は$[オ]$個であり，$f(n)=6$を満たす$n$の個数は$[カキ]$個である．
(2)$f(n)$の最大値は$[クケ]$である．したがって，$f(f(n))>4$を満たす最小の自然数は$n=[コサ]$となる．
(3)$f(n)=2$を満たす$100$以下の自然数$n$の集合を$A$，$100$以下の素数の集合を$B$とすると，$[シ]$が成り立つ．

$[シ]$の解答群
\mon[$①$] $A \in B$
\mon[$②$] $B \in A$
\mon[$③$] $A=B$
\mon[$④$] $A \subset B$かつ$A \neq B$
\mon[$⑤$] $B \subset A$かつ$A \neq B$
\mon[$⑥$] $A \cap B=\phi$
\mon[$④chi$] $A \cap B \neq \phi$かつ$A \neq A \cup B \neq B$

$1$個のさいころを$4$回投げるとする．

(1)出る目の積が$2$で割り切れる確率は$[キ]$である．
(2)出る目の積が素数になる確率は$[ク]$である．
(3)出る目の積が$12$になる確率は$[ケ]$である．

$n$を自然数とし，整式$x^n$を整式$x^2-2x-1$で割った余りを$ax+b$とする．このとき$a$と$b$は整数であり，さらにそれらをともに割り切る素数は存在しないことを示せ．

$n$と$k$を自然数とし，整式$x^n$を整式$(x-k)(x-k-1)$で割った余りを$ax+b$とする．

(1)$a$と$b$は整式であることを示せ．
(2)$a$と$b$をともに割り切る素数は存在しないことを示せ．

$k,\ m,\ n$は整数とし，$n \geqq 1$とする．$\comb{m}{k}$を二項係数として，$S_k(n),\ T_m(n)$を以下のように定める．
\begin{align}
& S_k(n)=1^k+2^k+3^k+\cdots +n^k,\quad S_k(1)=1 \quad (k \geqq 0) \nonumber \\
& T_m(n)=\comb{m}{1}S_1(n)+\comb{m}{2}S_2(n)+\comb{m}{3}S_3(n)+\cdots +\comb{m}{m-1}S_{m-1}(n) \nonumber \\
& \phantom{T_m(n)}=\sum_{k=1}^{m-1}\comb{m}{k}S_k(n) \quad (m \geqq 2) \nonumber
\end{align}

(1)$T_m(1)$と$T_m(2)$を求めよ．
(2)一般の$n$に対して$T_m(n)$を求めよ．
(3)$p$が7以上の素数のとき，$S_1(p-1),\ S_2(p-1),\ S_3(p-1),\ S_4(p-1)$は$p$の倍数であることを示せ．