「素数」について
タグ「素数」の検索結果
（4ページ目：全81問中31問～40問を表示）
国立 一橋大学 2014年 第1問$a-b-8$と$b-c-8$が素数となるような素数の組$(a,\ b,\ c)$をすべて求めよ．
国立 埼玉大学 2014年 第1問$p$を素数とする．以下の問いに答えよ．
(1)$1 \leqq r \leqq p-1$を満たす自然数$r$に対し，$\comb{p}{r}$は$p$で割り切れることを示せ．ただし，$\comb{p}{r}$は$p$個から$r$個とる組合せの総数を表すものとする．
(2)$1 \leqq s \leqq q-1$を満たす自然数の組$(q,\ s)$であって，$\comb{q}{s}$が$q$で割り切れないものを$1$組あげよ．
(3)自然数$m,\ n$に対し，$(m+n)^p-(m^p+n^p)$が$p$で割り切れることを示せ．
(4)自然数$n$に対し，$n^p-n$は$p$で割り切れることを，$n$に関する数学的帰納法を用いて証明せよ．
(1)$1 \leqq r \leqq p-1$を満たす自然数$r$に対し，$\comb{p}{r}$は$p$で割り切れることを示せ．ただし，$\comb{p}{r}$は$p$個から$r$個とる組合せの総数を表すものとする．
(2)$1 \leqq s \leqq q-1$を満たす自然数の組$(q,\ s)$であって，$\comb{q}{s}$が$q$で割り切れないものを$1$組あげよ．
(3)自然数$m,\ n$に対し，$(m+n)^p-(m^p+n^p)$が$p$で割り切れることを示せ．
(4)自然数$n$に対し，$n^p-n$は$p$で割り切れることを，$n$に関する数学的帰納法を用いて証明せよ．
国立 東京大学 2014年 第5問$r$を$0$以上の整数とし，数列$\{a_n\}$を次のように定める．
\[ a_1=r,\quad a_2=r+1,\quad a_{n+2}=a_{n+1}(a_n+1) \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
また，素数$p$を$1$つとり，$a_n$を$p$で割った余りを$b_n$とする．ただし，$0$を$p$で割った余りは$0$とする．
(1)自然数$n$に対し，$b_{n+2}$は$b_{n+1}(b_n+1)$を$p$で割った余りと一致することを示せ．
(2)$r=2,\ p=17$の場合に，$10$以下のすべての自然数$n$に対して，$b_n$を求めよ．
(3)ある$2$つの相異なる自然数$n,\ m$に対して，
\[ b_{n+1}=b_{m+1}>0,\quad b_{n+2}=b_{m+2} \]
が成り立ったとする．このとき，$b_n=b_m$が成り立つことを示せ．
(4)$a_2,\ a_3,\ a_4,\ \cdots$に$p$で割り切れる数が現れないとする．このとき，$a_1$も$p$で割り切れないことを示せ．
\[ a_1=r,\quad a_2=r+1,\quad a_{n+2}=a_{n+1}(a_n+1) \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
また，素数$p$を$1$つとり，$a_n$を$p$で割った余りを$b_n$とする．ただし，$0$を$p$で割った余りは$0$とする．
(1)自然数$n$に対し，$b_{n+2}$は$b_{n+1}(b_n+1)$を$p$で割った余りと一致することを示せ．
(2)$r=2,\ p=17$の場合に，$10$以下のすべての自然数$n$に対して，$b_n$を求めよ．
(3)ある$2$つの相異なる自然数$n,\ m$に対して，
\[ b_{n+1}=b_{m+1}>0,\quad b_{n+2}=b_{m+2} \]
が成り立ったとする．このとき，$b_n=b_m$が成り立つことを示せ．
(4)$a_2,\ a_3,\ a_4,\ \cdots$に$p$で割り切れる数が現れないとする．このとき，$a_1$も$p$で割り切れないことを示せ．
国立 神戸大学 2014年 第2問$m,\ n (m<n)$を自然数とし，
\[ a=n^2-m^2,\quad b=2mn,\quad c=n^2+m^2 \]
とおく．三辺の長さが$a,\ b,\ c$である三角形の内接円の半径を$r$とし，その三角形の面積を$S$とする．このとき，以下の問に答えよ．
(1)$a^2+b^2=c^2$を示せ．
(2)$r$を$m,\ n$を用いて表せ．
(3)$r$が素数のときに，$S$を$r$を用いて表せ．
(4)$r$が素数のときに，$S$が$6$で割り切れることを示せ．
\[ a=n^2-m^2,\quad b=2mn,\quad c=n^2+m^2 \]
とおく．三辺の長さが$a,\ b,\ c$である三角形の内接円の半径を$r$とし，その三角形の面積を$S$とする．このとき，以下の問に答えよ．
(1)$a^2+b^2=c^2$を示せ．
(2)$r$を$m,\ n$を用いて表せ．
(3)$r$が素数のときに，$S$を$r$を用いて表せ．
(4)$r$が素数のときに，$S$が$6$で割り切れることを示せ．
国立 神戸大学 2014年 第2問$m,\ n (m<n)$を自然数とし，
\[ a=n^2-m^2,\quad b=2mn,\quad c=n^2+m^2 \]
とおく．三辺の長さが$a,\ b,\ c$である三角形の内接円の半径を$r$とし，その三角形の面積を$S$とする．このとき，以下の問に答えよ．
(1)$a^2+b^2=c^2$を示せ．
(2)$r$を$m,\ n$を用いて表せ．
(3)$r$が素数のときに，$S$を$r$を用いて表せ．
(4)$r$が素数のときに，$S$が$6$で割り切れることを示せ．
\[ a=n^2-m^2,\quad b=2mn,\quad c=n^2+m^2 \]
とおく．三辺の長さが$a,\ b,\ c$である三角形の内接円の半径を$r$とし，その三角形の面積を$S$とする．このとき，以下の問に答えよ．
(1)$a^2+b^2=c^2$を示せ．
(2)$r$を$m,\ n$を用いて表せ．
(3)$r$が素数のときに，$S$を$r$を用いて表せ．
(4)$r$が素数のときに，$S$が$6$で割り切れることを示せ．
国立 千葉大学 2014年 第3問$p$は奇数である素数とし，$N=(p+1)(p+3)(p+5)$とおく．
(1)$N$は$48$の倍数であることを示せ．
(2)$N$が$144$の倍数になるような$p$の値を，小さい順に$5$つ求めよ．
(1)$N$は$48$の倍数であることを示せ．
(2)$N$が$144$の倍数になるような$p$の値を，小さい順に$5$つ求めよ．
国立 福島大学 2014年 第1問次の問いに答えなさい．
(1)$0 \leqq \theta<2\pi$のとき，次の方程式を解きなさい．
\[ \sin \theta+\sqrt{3} \cos \theta=-1 \]
(2)次の関数を微分しなさい．
\[ y=\log (x^2+2x+1) \]
(3)次の不定積分を求めなさい．
\[ \int \frac{2x^2}{x^3+1} \, dx \]
(4)$2$個のサイコロを同時に投げる．このとき，出た目の和が素数となる確率を求めなさい．
(1)$0 \leqq \theta<2\pi$のとき，次の方程式を解きなさい．
\[ \sin \theta+\sqrt{3} \cos \theta=-1 \]
(2)次の関数を微分しなさい．
\[ y=\log (x^2+2x+1) \]
(3)次の不定積分を求めなさい．
\[ \int \frac{2x^2}{x^3+1} \, dx \]
(4)$2$個のサイコロを同時に投げる．このとき，出た目の和が素数となる確率を求めなさい．
国立 滋賀医科大学 2014年 第1問さいころを$n$回（$n \geqq 1$）投げて，出た目の最小公倍数を$l$とするとき，次の確率を求めよ．
(1)$2$と$3$の少なくとも一方が一度も出ない確率
(2)$l$が素数となる確率
(3)$l$が出た目の一つに等しい確率
(1)$2$と$3$の少なくとも一方が一度も出ない確率
(2)$l$が素数となる確率
(3)$l$が出た目の一つに等しい確率
国立 富山大学 2014年 第2問$p$を素数とするとき，次の問いに答えよ．
(1)自然数$k$が$1 \leqq k \leqq p-1$を満たすとき，$\comb{p}{k}$は$p$で割り切れることを示せ．ただし，$\comb{p}{k}$は$p$個のものから$k$個取った組合せの総数である．
(2)$n$を自然数とするとき，$n$に関する数学的帰納法を用いて，$n^p-n$は$p$で割り切れることを示せ．
(3)$n$が$p$の倍数でないとき，$n^{p-1}-1$は$p$で割り切れることを示せ．
(1)自然数$k$が$1 \leqq k \leqq p-1$を満たすとき，$\comb{p}{k}$は$p$で割り切れることを示せ．ただし，$\comb{p}{k}$は$p$個のものから$k$個取った組合せの総数である．
(2)$n$を自然数とするとき，$n$に関する数学的帰納法を用いて，$n^p-n$は$p$で割り切れることを示せ．
(3)$n$が$p$の倍数でないとき，$n^{p-1}-1$は$p$で割り切れることを示せ．
国立 徳島大学 2014年 第4問$p$を素数とする．初項，公差がともに$5p$の等差数列を$\{a_n\}$とする．数列$\{b_n\}$は公差が$p$の等差数列で$\displaystyle \sum_{n=1}^p a_n=a_1+a_p+5 \sum_{n=1}^p b_n$を満たす．
(1)$b_1$を求めよ．
(2)$p=2$のとき，$\displaystyle \frac{a_n}{b_n}$の値が自然数となるような$n$をすべて求めよ．
(3)$p \geqq 3$とする．$\displaystyle \frac{a_n}{b_n}$の値が自然数となるような$p$と$n$の組$(p,\ n)$をすべて求めよ．
(1)$b_1$を求めよ．
(2)$p=2$のとき，$\displaystyle \frac{a_n}{b_n}$の値が自然数となるような$n$をすべて求めよ．
(3)$p \geqq 3$とする．$\displaystyle \frac{a_n}{b_n}$の値が自然数となるような$p$と$n$の組$(p,\ n)$をすべて求めよ．