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北海道医療大学 私立 北海道医療大学 2013年 第2問
ある薬品$30 \mathrm{g}$を純水$70 \mathrm{g}$に溶かした溶液が入ったビーカー$\mathrm{A}$と純水$100 \mathrm{g}$が入ったビーカー$\mathrm{B}$がある.今,次のような手順を繰り返して行うとする.

\mon[$①$] ビーカー$\mathrm{B}$の溶液のうち$50 \mathrm{g}$をビーカー$\mathrm{A}$に入れ,その後ビーカー$\mathrm{A}$の溶液をよくかき混ぜる.
\mon[$②$] できあがったビーカー$\mathrm{A}$の溶液のうち$50 \mathrm{g}$をビーカー$\mathrm{B}$に戻し,その後ビーカー$\mathrm{B}$の溶液をよくかき混ぜる.


(1)この手順を$1$回行った後のビーカー$\mathrm{A}$の溶液に含まれる薬品の重さを$a_1$,ビーカー$\mathrm{B}$の溶液に含まれる薬品の重さを$b_1$とする.$a_1,\ b_1$の値を求めよ.
(2)この手順を$n$回($n \geqq 2$)行った後のビーカー$\mathrm{A}$の溶液に含まれる薬品の重さを$a_n$,ビーカー$\mathrm{B}$の溶液に含まれる薬品の重さを$b_n$とする.$a_n$を$a_{n-1},\ b_{n-1}$で表せ.また,$b_n$を$a_{n-1},\ b_{n-1}$で表せ.
(3)$c_n=a_n+b_n$と置くとき,$c_n$の値を求めよ.
(4)$d_n=a_n-b_n$と置くとき,$d_n$を$n$の式で表せ.
(5)ビーカー$\mathrm{A}$の溶液に含まれる薬品とビーカー$\mathrm{B}$の溶液に含まれる薬品の重さの差が$0.1 \mathrm{g}$以下になるのは,この手順を何回繰り返した後か.
(6)$a_n,\ b_n$を$n$の式で表せ.
福島大学 国立 福島大学 2011年 第3問
以下の問いに答えなさい.

(1)2つの容器 A,Bがある.はじめAの容器には100gの純水が,Bの容器には濃度$s\,\%$の食塩水100gが入っている.Aの3分の1を捨て,捨てた量と同じ重さ(g)のBの食塩水をAの容器に移したのち,Aをよく混ぜる操作を考える.この操作を$k$回行った後のAの食塩水に含まれる食塩の重さ(g)を$w_k$とする$(k=1,\ 2,\ 3)$.$w_1,\ w_2,\ w_3$を$s$を用いて表しなさい.
(2)上記(1)の操作の後,A,Bの溶液を捨て,改めてAの容器には100gの純水を,Bの容器には濃度$s\,\%$の食塩水100gを入れる.自然数$n$について,Aの$n$分の1を捨て,捨てた量と同じ重さ(g)のBの食塩水をAの容器に移したのちAをよく混ぜる操作を考える.この操作を$k$回行った後のAの濃度を$a_k\ (\%)$とする$(1 \leqq k \leqq n)$.$1 \leqq k \leqq n-1$のとき,$a_{k+1}$と$a_k$との関係を$s$と$n$を用いて表しなさい.さらに$a_n$を求めなさい.
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