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私立 日本医科大学 2013年 第2問自然数$m,\ n$は，$2 \leqq m<n$を満たすとする．
(1)次の不等式が成り立つことを証明せよ．
\[ \frac{n+1-m}{m(n+1)}<\frac{1}{m^2}+\frac{1}{(m+1)^2}+\cdots +\frac{1}{(n-1)^2}+\frac{1}{n^2}<\frac{n+1-m}{n(m-1)} \]
(2)次の不等式が成り立つことを証明せよ．
\[ \frac{3}{2} \leqq \lim_{n \to \infty} \left( 1+\frac{1}{2^2}+\cdots +\frac{1}{n^2} \right) \leqq 2 \]
(3)$(2)$の不等式をより精密にした，次の不等式が成り立つことを証明せよ．
\[ \frac{29}{18} \leqq \lim_{n \to \infty} \left( 1+\frac{1}{2^2}+\cdots +\frac{1}{n^2} \right) \leqq \frac{61}{36} \]
(1)次の不等式が成り立つことを証明せよ．
\[ \frac{n+1-m}{m(n+1)}<\frac{1}{m^2}+\frac{1}{(m+1)^2}+\cdots +\frac{1}{(n-1)^2}+\frac{1}{n^2}<\frac{n+1-m}{n(m-1)} \]
(2)次の不等式が成り立つことを証明せよ．
\[ \frac{3}{2} \leqq \lim_{n \to \infty} \left( 1+\frac{1}{2^2}+\cdots +\frac{1}{n^2} \right) \leqq 2 \]
(3)$(2)$の不等式をより精密にした，次の不等式が成り立つことを証明せよ．
\[ \frac{29}{18} \leqq \lim_{n \to \infty} \left( 1+\frac{1}{2^2}+\cdots +\frac{1}{n^2} \right) \leqq \frac{61}{36} \]