「粒子」について
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国立 京都大学 2014年 第2問$2$つの粒子が時刻$0$において$\triangle \mathrm{ABC}$の頂点$\mathrm{A}$に位置している．これらの粒子は独立に運動し，それぞれ$1$秒ごとに隣の頂点に等確率で移動していくとする．たとえば，ある時刻で点$\mathrm{C}$にいる粒子は，その$1$秒後には点$\mathrm{A}$または点$\mathrm{B}$にそれぞれ$\displaystyle \frac{1}{2}$の確率で移動する．この$2$つの粒子が，時刻$0$の$n$秒後に同じ点にいる確率$p(n)$を求めよ．
国立 大阪教育大学 2013年 第4問ある種の粒子は出現して$1$時間後に次のように変化する．
確率$\displaystyle \frac{1}{3}$で$2$個の新しい粒子になる．
確率$\displaystyle \frac{1}{2}$で$1$個の新しい粒子になる．
確率$\displaystyle \frac{1}{6}$で消滅する．
$1$個の粒子から始まるものとして，次の問いに答えよ．
(1)$2$時間後に粒子が$2$個になっている確率を求めよ．
(2)$3$時間後に粒子が$5$個になっている確率を求めよ．
(3)$n$を自然数とする．$n$時間後に最大でいくつの粒子があるか．その個数と，そうなる確率を$n$を用いて表せ．
確率$\displaystyle \frac{1}{3}$で$2$個の新しい粒子になる．
確率$\displaystyle \frac{1}{2}$で$1$個の新しい粒子になる．
確率$\displaystyle \frac{1}{6}$で消滅する．
$1$個の粒子から始まるものとして，次の問いに答えよ．
(1)$2$時間後に粒子が$2$個になっている確率を求めよ．
(2)$3$時間後に粒子が$5$個になっている確率を求めよ．
(3)$n$を自然数とする．$n$時間後に最大でいくつの粒子があるか．その個数と，そうなる確率を$n$を用いて表せ．
私立 愛知工業大学 2010年 第1問次の$[ ]$を適当に補え．
(1)$x^2-2y^2+xy+5x+y+6$を因数分解すると$[ ]$となる．
(2)平面上に半径$1$と半径$2$の円がある．共通接線がちょうど$3$本引けるとき，この$3$本の接線によって囲まれる三角形の面積は$[ ]$である．
(3)$2$つの平面ベクトルを$\overrightarrow{a}=(3,\ -1)$，$\overrightarrow{b}=(0,\ 2)$とする．$s,\ t$が$s+t=3 (0 \leqq s \leqq 3)$をみたすとき，ベクトル$s \overrightarrow{a}+t \overrightarrow{b}$の大きさの最大値は$[ ]$，最小値は$[ ]$である．
(4)$y=\sin^2 x+4 \sin x \cos x+3 \cos^2 x$を$\sin 2x$と$\cos 2x$の式で表すと$y=[ ]$となり，$0 \leqq x \leqq \pi$における$y$の値の範囲は$[ ]$である．
(5)ある粒子を$1$枚で$50 \, \%$遮断できる繊維がある．この繊維を少なくとも$[ ]$枚重ねれば，この粒子を$99 \, \%$以上遮断できる．ただし，$\log_{10}2=0.3010$とする．
(6)$\displaystyle S_n=\frac{\left( \sum_{k=1}^n k \right)^2}{\sum_{k=1}^n k^2}$のとき，$S_3=[ ]$であり，$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{S_n}{n}=[ ]$である．
(1)$x^2-2y^2+xy+5x+y+6$を因数分解すると$[ ]$となる．
(2)平面上に半径$1$と半径$2$の円がある．共通接線がちょうど$3$本引けるとき，この$3$本の接線によって囲まれる三角形の面積は$[ ]$である．
(3)$2$つの平面ベクトルを$\overrightarrow{a}=(3,\ -1)$，$\overrightarrow{b}=(0,\ 2)$とする．$s,\ t$が$s+t=3 (0 \leqq s \leqq 3)$をみたすとき，ベクトル$s \overrightarrow{a}+t \overrightarrow{b}$の大きさの最大値は$[ ]$，最小値は$[ ]$である．
(4)$y=\sin^2 x+4 \sin x \cos x+3 \cos^2 x$を$\sin 2x$と$\cos 2x$の式で表すと$y=[ ]$となり，$0 \leqq x \leqq \pi$における$y$の値の範囲は$[ ]$である．
(5)ある粒子を$1$枚で$50 \, \%$遮断できる繊維がある．この繊維を少なくとも$[ ]$枚重ねれば，この粒子を$99 \, \%$以上遮断できる．ただし，$\log_{10}2=0.3010$とする．
(6)$\displaystyle S_n=\frac{\left( \sum_{k=1}^n k \right)^2}{\sum_{k=1}^n k^2}$のとき，$S_3=[ ]$であり，$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{S_n}{n}=[ ]$である．
公立 和歌山県立医科大学 2010年 第2問$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$のいずれかの状態をとる粒子があり，その状態は次のように変化していく．
\mon[(イ)] 状態$\mathrm{A}$であるとき，$1$秒後に状態$\mathrm{A}$，状態$\mathrm{B}$である確率はともに$\displaystyle \frac{1}{2}$である．
\mon[(ロ)] 状態$\mathrm{B}$であるとき，$1$秒後に状態$\mathrm{B}$である確率は$\displaystyle \frac{1}{3}$であり，状態$\mathrm{C}$である確率は$\displaystyle \frac{2}{3}$である．
\mon[(ハ)] 状態$\mathrm{C}$となったときは，その後は変化なく$\mathrm{C}$の状態が続く．
粒子は最初状態$\mathrm{A}$であるとし，$n$秒後に状態$\mathrm{A}$，状態$\mathrm{B}$，状態$\mathrm{C}$である確率をそれぞれ$P_n,\ Q_n,\ R_n$とする．次の問いに答えよ．ただし，$m,\ n$は自然数とする．
(1)$R_n$を求めよ．
(2)異なる$m,\ n$で$Q_m=Q_n$となることはあるか．
(3)$P_m=Q_n$となることはあるか．
\mon[(イ)] 状態$\mathrm{A}$であるとき，$1$秒後に状態$\mathrm{A}$，状態$\mathrm{B}$である確率はともに$\displaystyle \frac{1}{2}$である．
\mon[(ロ)] 状態$\mathrm{B}$であるとき，$1$秒後に状態$\mathrm{B}$である確率は$\displaystyle \frac{1}{3}$であり，状態$\mathrm{C}$である確率は$\displaystyle \frac{2}{3}$である．
\mon[(ハ)] 状態$\mathrm{C}$となったときは，その後は変化なく$\mathrm{C}$の状態が続く．
粒子は最初状態$\mathrm{A}$であるとし，$n$秒後に状態$\mathrm{A}$，状態$\mathrm{B}$，状態$\mathrm{C}$である確率をそれぞれ$P_n,\ Q_n,\ R_n$とする．次の問いに答えよ．ただし，$m,\ n$は自然数とする．
(1)$R_n$を求めよ．
(2)異なる$m,\ n$で$Q_m=Q_n$となることはあるか．
(3)$P_m=Q_n$となることはあるか．