放物線$C:y=-x^2+ax$（$a$は正の定数）と直線$\ell:y=mx+n$が$2$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$で交わっている．$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$の$x$座標を$\alpha,\ \beta$とすると，$0<\alpha<\beta<2a$を満たしている．$x=0$，$C$，$\ell$で囲まれた図形の面積を$T_1$，$C$と$\ell$で囲まれた図形の面積を$T_2$，$x=2a$，$C$，$\ell$で囲まれた図形の面積を$T_3$とする．このとき，
\[ T_2=T_1+T_3 \]
が満たされるとする．以下の各設問に答えよ．

(1)$T_2=T_1+T_3$から，$a,\ m,\ n$の間に関係式
\[ [　]=0 \]
が成り立つ（もっとも簡潔な式で書くこと）．
(2)$T_2=T_1+T_3$を満たす直線$\ell$は$m,\ n$によらず定点$[　]$を通る．この定点を$a$を用いて表せ．
(3)$T_2$の値が最小となるのは直線$\ell$が$y=[　]$のときであり，そのとき$T_2$の値は$[　]$である．
(4)$(3)$のとき$\alpha,\ \beta$の値は
\[ \alpha=[　]a,\quad \beta=[　]a \]
である．

整数ではない実数$x$に対して$\displaystyle f(x)=\frac{1}{x-[x]}$と定める．ただし，$[x]$は$l<x<l+1$を満たす整数$l$を表す．以下の問いに答えよ．

(1)$f(\sqrt{2}),\ f(f(\sqrt{2}))$を計算し，簡潔な形で答えよ．
(2)$f(\sqrt{3}),\ f(f(\sqrt{3})),\ f(f(f(\sqrt{3})))$を計算し，簡潔な形で答えよ．
(3)自然数$n$に対して，$n<x<n+1$かつ$f(x)=x$を満たす$x$を求めよ．
(4)自然数$n$を$1$つ固定する．$n<x<n+1$の範囲の$x$で，$f(x)$が整数ではなく，さらに$f(f(x))=x$を満たす$x$を大きい順に並べる．その中の$x$で$f(x)=x$を満たすものは何番目に現れるかを答えよ．

次の問いに答えなさい．

(1)円に内接する四角形$\mathrm{ABCD}$において，$\mathrm{AB}=\mathrm{BC}=\mathrm{CA}=7$，$\mathrm{AD}=5$であるとき，辺$\mathrm{CD}$の長さを求めよ．
(2)一般に任意の四角形は必ずしも円に内接しない．では，相異なる$4$点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$，$\mathrm{S}$をこの順に並べた四角形$\mathrm{PQRS}$が円に内接するための「角度に関する必要十分条件」を一つだけ簡潔に記せ．ただし，証明は不要である．
(3)平行四辺形$\mathrm{KLMN}$が円に内接すれば，この平行四辺形は長方形であることを証明せよ．
（図は省略）

以下の問いに答えよ．

(1)$a,\ b,\ c$を相異なる実数とする．$x,\ y,\ z$に関する連立$3$元$1$次方程式
\[ \left\{ \begin{array}{l}
x-ay+a^2z=a^4 \\
x-by+b^2z=b^4 \\
x-cy+c^2z=c^4
\end{array} \right. \]
を解きたい．その解を基本対称式
\[ \begin{array}{l}
A=a+b+c \\
B=ab+bc+ca \\
C=abc
\end{array} \]
を用いて表せ．
(2)平面上に$3$点$\mathrm{A}(2,\ 3)$，$\mathrm{B}(1,\ 2)$，$\mathrm{C}(3,\ 1)$をとる．このとき，三角形$\mathrm{ABC}$の内心を求めよ．
(3)行列$A$を
\setstretch{2.5}
\[ A=\left( \begin{array}{rr}
\displaystyle\frac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2} & -\displaystyle\frac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{2} \\
\displaystyle\frac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{2} & \displaystyle\frac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2}
\end{array} \right) \]
\setstretch{1.4}
とおく．このとき，行列の和
\[ A+A^2+\cdots +A^7+A^8 \]
を，（簡潔な形で）求めよ．

$f(x)$を区間$[0,\ \infty )$上の連続関数とする．この区間上の$f(x)$の積分を
\[ \int_0^\infty f(x) \, dx=\lim_{R \to \infty} \int_0^R f(x) \, dx \]
とおく．以下の問いに答えよ．

(1)$\alpha,\ \beta$を正の定数として，積分$\displaystyle \int_0^\infty \frac{1}{(1+\alpha x)(1+\beta x)} \, dx$を求めよ．
(2)$a,\ b,\ c$を相異なる正の定数として，積分$\displaystyle \int_0^\infty \frac{1}{(1+ax)(1+bx)(1+cx)} \, dx$を（結果の表示を簡潔にするため）
\[ \int_0^\infty \frac{1}{(1+ax)(1+bx)(1+cx)} \, dx=A \log a+B \log b+C \log c \]
とおく．$A,\ B,\ C$を求めよ．