$\angle$AOBが直角，$\text{OA}:\text{OB}=2:1$である三角形OABがある．$s$は$0<s<1$とし，辺ABを$s:(1-s)$に内分する点をPとし，OPを$s:(1-s)$に内分する点をQとする．また，線分AQの延長とOBの交点をRとする．$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$と$\overrightarrow{\mathrm{BQ}}$が直交するとき，以下の問いに答えよ．

(1)$s$の値を求めよ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{AR}}=t\overrightarrow{\mathrm{AQ}}$とおくとき，$t$の値を求めよ．
(3)三角形OQRの面積と三角形BPQの面積の比を，最も簡単な整数の比で表せ．

$t$を実数の定数として，$x$の$3$次関数
\[ f(x) = \frac{1}{3}x^3-2^tx^2+(4^t-4^{-t})x \]
を考える．$f(x)$は$x=\alpha$において極大値を，$x=\beta$において極小値をとるとする．

(1)$\alpha,\ \beta$を$t$のなるべく簡単な式で表せ．
(2)$\alpha,\ \beta$が$\alpha\beta=1$を満たすとき
\[ t= \frac{1}{2} \left\{ \log_2 \left([(a)]+\sqrt{[(b)]}\right)-[(c)] \right\} \]
である．(a),\ (b),\ (c)にあてはまる$1$桁の自然数を求めよ．
(3)$\alpha,\ \beta$が$\beta-\alpha \geqq 12$を満たすときの$t$の値の範囲は
\[ t \leqq - [(d)] \log_2 [(e)] -1 \]
である．(d),\ (e)にあてはまる$1$桁の自然数を求めよ．

次の各問いに答えよ．

(1)$(xy+1)(x+1)(y+1)+xy$を因数分解せよ．
(2)$\displaystyle \sin \theta+\cos \theta=\frac{3}{5} (0^\circ \leqq \theta \leqq 180^\circ)$のとき，$\sin \theta \cos \theta$の値を求めよ．

(3)$\displaystyle \frac{2 \sqrt{7}}{\sqrt{5}+1}-\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{7}+\sqrt{5}}$の分母を有理化して簡単にせよ．

(4)$8$個の異なる荷物を$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$の$3$人に分けるとき，$\mathrm{A}$に$3$個，$\mathrm{B}$に$2$個，$\mathrm{C}$に$3$個のように分ける方法は何通りあるか．
(5)方程式$x^2+(2a+1)x+a+1=0$が実数解をもつように，定数$a$の値の範囲を求めよ．
(6)$2$次関数$y=x^2-2mx+3m$の最小値を$k$とするとき，$k$の最大値とそのときの$m$の値を求めよ．

次の各問に答えよ．

(1)放物線$y=x^2-ax+3$の頂点が直線$y=3x+5$上にあるとき，定数$a$の値を求めよ．
(2)$\displaystyle \log_9\sqrt{2}+\frac{1}{2}\log_9 \frac{1}{3}-\frac{3}{2}\log_9 \sqrt[3]6$を簡単にせよ．
(3)曲線$y=\sqrt{x-1}$上の点$(2,\ 1)$における接線を$\ell$とする．この曲線と$x$軸および接線$\ell$で囲まれた部分の面積$S$を求めよ．
(4)行列$A=\left( \begin{array}{cc}
a & b \\
c & d
\end{array} \right)$が$A^2-4A+3E=O$を満たすとき，$a+d$の値を求めよ．ただし，$O$は零行列，$E$は単位行列である．

$\triangle \mathrm{ABC}$内に
\[ 6 \overrightarrow{\mathrm{PA}}+3 \overrightarrow{\mathrm{PB}}+2 \overrightarrow{\mathrm{PC}}=\overrightarrow{\mathrm{0}} \]
をみたす点$\mathrm{P}$があるとき，次の問に答えよ．ただし，比は最も簡単な整数の比で表せ．

(1)$\overrightarrow{\mathrm{AP}}=m \overrightarrow{\mathrm{AB}}+ n \overrightarrow{\mathrm{AC}}$とするとき，$m,\ n$の値を求めよ．
(2)直線$\mathrm{AP}$と辺$\mathrm{BC}$の交点を$\mathrm{D}$とするとき，比$\mathrm{BD}:\mathrm{DC}$および$\mathrm{AP}:\mathrm{PD}$を求めよ．
(3)直線$\mathrm{BP}$と辺$\mathrm{AC}$の交点を$\mathrm{E}$とするとき，比$\mathrm{AE}:\mathrm{EC}$を求めよ．
(4)面積の比$\triangle \mathrm{PDC}:\triangle \mathrm{PCE}$を求めよ．

次の問いに答えよ．

(1)$\displaystyle \frac{5}{x^2-x-6}-\frac{4}{x-3}$を簡単にせよ．

(2)$\displaystyle -3 \leqq x \leqq \frac{1}{2}$のとき，関数$f(x)=-x^2-2x+9$の最大値と最小値を求めよ．

(3)$3$直線$\ell_1:5x+y-23=0$，$\ell_2:3x-y-1=0$，$\ell_3:x-3y+5=0$があり，$\ell_1$と$\ell_2$，$\ell_2$と$\ell_3$，$\ell_3$と$\ell_1$の交点をそれぞれ$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$とするとき，$3$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$の座標と$\cos \angle \mathrm{ABC}$の値を求めよ．

次の問いに答えなさい．

(1)$2x^3-16$を因数分解しなさい．
(2)$\sqrt{7-\sqrt{48}}$の二重根号をはずして簡単にしなさい．
(3)不等式$x-4<-3x+2 \leqq x+6$を解きなさい．
(4)$2$次方程式$3x^2-6x+1=0$の実数解の個数を求めなさい．
(5)$\tan \theta=-3 (0^\circ \leqq \theta \leqq 180^\circ)$のとき，$\cos \theta$の値を求めなさい．
(6)$6$人の生徒を$2$人ずつ$3$組に分ける分け方は何通りあるか求めなさい．

$f(x)=|x^2-2x-3|+|2x+3|$とする．次の条件のとき$f(x)$を簡単にしなさい．

(1)$\displaystyle x<-\frac{3}{2}$のとき，$f(x)=[　]$
(2)$\displaystyle -\frac{3}{2} \leqq x<-1$のとき，$f(x)=[　]$
(3)$-1 \leqq x<3$のとき，$f(x)=[　]$
(4)$3 \leqq x$のとき，$f(x)=[　]$

次の設問の空欄を，あてはまる数値や記号，式などで埋めなさい．

(1)式$(x-2y+3z)^2$を展開したとき，$y^2$の係数は$[$1$]$であり，$yz$の係数は$[$2$]$である．
(2)下の図の斜線部分は$3$つの不等式$[$3$]$，$[$4$]$，$[$5$]$で表される．ただし，境界線は含まないものとする．
（図は省略）
(3)$2$つの複素数$2+\sqrt{3}i$，$2-\sqrt{3}i$を解とする$2$次方程式の$1$つは
\[ x^2-[$6$]x+[$7$]=0 \]
である．
(4)$108$を素因数分解すると，$2$の$[$8$]$乗と$3$の$[$9$]$乗の積として表すことができる．したがって，$108$の正の約数は全部で$[$10$]$個である．
(5)当たりくじ$3$本を含む$10$本のくじがある．引いたくじはもとに戻さないものとして，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$の$3$人がこの順に$1$本ずつくじを引く．このとき$3$人のうちで$\mathrm{B}$と$\mathrm{C}$の$2$人だけが当たる確率は$[$11$]$であり，$3$人のうちで$\mathrm{B}$か$\mathrm{C}$のどちらか$1$人だけが当たる確率は$[$12$]$である．
(6)$a_{n+1}-a_n=1$，$a_1=0$と定められた数列の一般項は$[$13$]$である．また，$a_{n+1}-a_n=n$，$a_1=0$と定められた数列の一般項は$[$14$]$である．
(7)式$\sqrt{7+2 \sqrt{10}}+\sqrt{13-4 \sqrt{10}}$を簡単にすると$[$15$]$，式$\sqrt{8+2 \sqrt{15}}+\sqrt{5+2 \sqrt{6}}$を簡単にすると$[$16$]$である．
(8)$2$次関数
\[ y=ax^2+2ax+b \quad (a<0) \]
の定義域を$|x| \leqq 2$，値域を$|y| \leqq 9$とする．このとき，$a=[$17$]$で，$b=[$18$]$である．

次の$[　]$にあてはまる数または式を記入せよ．

(1)$\displaystyle \frac{1}{1+\displaystyle\frac{2}{1+\displaystyle\frac{3}{1+\displaystyle\frac{4}{1+\displaystyle\frac{5}{6}}}}}$を簡単にすると，$\displaystyle \frac{[　]}{[　]}$となる．

(2)整式$x^{2011}$を$x^2+1$で割った余りは，$[　]$となる．
(3)対数方程式$\log_{x-1}(x^3-3x^2-x+3)=2$を解くと，$x=[　]$となる．
(4)$-{90}^\circ<x<0^\circ$において，$\displaystyle \sqrt{\frac{1+\cos x}{1-\cos x}}=8$のとき，$\displaystyle \tan \frac{x}{2}=[　]$となる．
(5)第$1$項から第$n$項（$n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots$）までの和が$3n^2-n$である数列の第$100$項目の数は$[　]$である．