次の式を簡単にしなさい．

(1)$\displaystyle \frac{x^2}{x-2}-\frac{4}{x-2}-1$

(2)$\log_{64}4$

次の問に答えなさい．

(1)$2$つの解$\alpha=1+\sqrt{2}$，$\beta=\sqrt{3}$をもつ$2$次方程式を一つ求めなさい．
(2)ある$2$次方程式$f(x)=0$の解の$1$つが$\alpha=s+t \sqrt{2}$であった．このとき，もう一つの解$\beta$に関する次の議論は正しくないことを説明しなさい．
\begin{jituwaku}
$\alpha=s+t \sqrt{2}$から簡単な計算により，$\alpha^2-2s \alpha+s^2-2t^2=0$を得る．これは，$\alpha$が$x^2-2sx+s^2-2t^2=0$の解であることを意味することから，$f(x)=x^2-2sx+s^2-2t^2$がわかる．よって，$f(x)=0$のもう一つの解$\beta$は$x^2-2sx+s^2-2t^2=0$を解いて$\beta=s-t \sqrt{2}$と求まる．
\end{jituwaku}
(3)$2$次方程式$x^2+px+q=0$において，$p,\ q$は有理数とする．$\alpha=1+\sqrt{2}$がこの方程式の解であるとき，もう一方の解$\beta$を求めなさい．

正六角形$\mathrm{ABCDEF}$において，辺$\mathrm{DE}$の中点を$\mathrm{P}$とし，線分$\mathrm{AP}$と$\mathrm{BF}$の交点を$\mathrm{Q}$とする．次の問いに答えよ．

(1)$\overrightarrow{\mathrm{AP}}$を$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$と$\overrightarrow{\mathrm{AF}}$を用いて表せ．
(2)$\mathrm{AQ}:\mathrm{QP}$を最も簡単な整数の比で表せ．
(3)$|\overrightarrow{\mathrm{AB}}|=1$のとき，$\triangle \mathrm{BPQ}$の面積を求めよ．

平面上に$\triangle \mathrm{OAB}$と点$\mathrm{P}$があり，実数$k,\ m,\ n$に対して
\[ k \overrightarrow{\mathrm{PO}}+m \overrightarrow{\mathrm{PA}}+n \overrightarrow{\mathrm{PB}}=\overrightarrow{\mathrm{0}} \]
が成り立つとする．次の問いに答えよ．

(1)$k=4$，$m=1$，$n=2$のとき，$\triangle \mathrm{POA}$，$\triangle \mathrm{POB}$，$\triangle \mathrm{PAB}$の面積比を最も簡単な整数の比で表せ．
(2)$k$を$0$以上の定数とする．点$\mathrm{P}$が$m \geqq 0$，$n \geqq 0$，$m+n=3$を満たしながら動くとき，点$\mathrm{P}$の軌跡は線分になることを示せ．
(3)点$\mathrm{P}$が$k \geqq 1$，$m \geqq 0$，$n \geqq 0$，$m+n=3$を満たしながら動くとき，点$\mathrm{P}$の存在する領域$D$を図示せよ．また，領域$D$の面積は$\triangle \mathrm{OAB}$の面積の何倍になるかを求めよ．

次の式を簡単にせよ．
\[ \frac{1}{1+\sqrt{2}-\sqrt{3}-\sqrt{6}}+\frac{1}{1-\sqrt{2}+\sqrt{3}-\sqrt{6}} \]

$\angle \mathrm{A}$が鋭角で$\mathrm{AB}=6$，$\mathrm{AC}=4$の$\triangle \mathrm{ABC}$がある．$\angle \mathrm{A}$の二等分線と直線$\mathrm{BC}$の交点を$\mathrm{D}$，線分$\mathrm{AD}$を$2:1$に内分する点を$\mathrm{E}$とし，直線$\mathrm{BE}$と直線$\mathrm{AC}$の交点を$\mathrm{F}$とする．

(1)面積比$\triangle \mathrm{ABE}:\triangle \mathrm{ABC}$を最も簡単な整数比で表すと，
\[ \triangle \mathrm{ABE}:\triangle \mathrm{ABC}=[コ]:[サ] \]
である．
(2)線分比$\mathrm{AF}:\mathrm{FC}$を最も簡単な整数比で表すと，
\[ \mathrm{AF}:\mathrm{FC}=[シ]:[ス] \]
である．
(3)$\triangle \mathrm{ABE}$の面積が$\displaystyle \frac{8}{5}\sqrt{5}$であるとき，$\displaystyle \sin \angle \mathrm{BAC}=\frac{\sqrt{[セ]}}{[ソ]}$，$\mathrm{BC}=[タ] \sqrt{[チ]}$，$\displaystyle \sin \angle \mathrm{ABC}=\frac{[ツ]}{[テ]}$である．
また，$\triangle \mathrm{ABC}$の外接円の半径は$[ト]$であり，内接円の半径は$\sqrt{[ナ]}-[ニ]$である．

三角形$\mathrm{ABC}$の辺$\mathrm{BC}$および辺$\mathrm{AC}$上に，それぞれ点$\mathrm{D}$および点$\mathrm{E}$がある．直線$\mathrm{AD}$と直線$\mathrm{BE}$の交点を$\mathrm{P}$，点$\mathrm{C}$から点$\mathrm{P}$を通る直線が辺$\mathrm{AB}$と交わる点を$\mathrm{F}$とする．$\mathrm{AE}:\mathrm{EC}=1:2$，$\mathrm{BD}:\mathrm{DC}=2:3$のとき，次の$(1)$および$(2)$の設問に答えなさい．

(1)$\mathrm{AF}$と$\mathrm{FB}$の長さの比を簡単な整数比で求めなさい．
(2)$\mathrm{AP}$と$\mathrm{PD}$の長さの比を簡単な整数比で求めなさい．

次の$(1)$から$(8)$の$[　]$に適する答えを書きなさい．

(1)点$(2,\ 1)$から$3x-4y=5$までの距離は$[　]$である．
(2)サイコロを$3$回ふったとき出た目を$a,\ b,\ c$とすると，$(a-b)(b-c)(c-a)=0$となるときの確率は$[　]$である．
(3)数列$3,\ 5,\ 9,\ 17,\ 33,\ 65,\ \cdots$の第$n$項は$[　]$となる．
(4)正の実数$x,\ y$が$x+y-2=0$を満たすとき，$xy$の値の取り得る範囲は$[ア]<xy \leqq [イ]$となる．
(5)$2x^3-x^2-5x-2=0$を解くと，$x=[　],\ [　],\ [　]$となる．
(6)$\sqrt{11-\sqrt{96}}$の二重根号をはずし，簡単にすると$[　]$となる．
(7)$2 \sin^2 x-\cos 2x-\cos^2 x=\sin^2 x$を解くと，$x=[　],\ [　]$となる．ただし，$0 \leqq x \leqq \pi$とする．
(8)$\log_3 x-3 \log_x 9=-1$を解くと，$x=[　],\ [　]$となる．ただし，$x>0,\ x \neq 1$とする．

次の各問題の$[　]$に適する答えを記入せよ．

(1)$\sqrt{2+\sqrt{3}}+\sqrt{2-\sqrt{3}}$を簡単にすると$[ア]$となる．
(2)$(0.98)^n<0.5$となる最小の整数$n$は$[イ]$である．ただし$\log_{10}2=0.3010$，$\log_{10}7=0.8451$とする．
(3)和$\displaystyle \frac{1}{2 \cdot 5}+\frac{1}{5 \cdot 8}+\frac{1}{8 \cdot 11}+\cdots+\frac{1}{(3n-1)(3n+2)}$を求めると$[ウ]$となる．

式$(1+\sqrt{3}-\sqrt{6}-\sqrt{8})(1-\sqrt{3}+\sqrt{6}-\sqrt{8})$を簡単にせよ．