関数$f(x)=|x(x+2)|$のグラフを$C$とする．次の$[　]$をうめよ．

(1)$k$を定数とし，直線$y=x+k$を$\ell$とする．$C$と$\ell$が共有点を持たないのは，$k$の値が$[$①$]$の範囲のときである．共有点が$1$個であるのは，$k$の値が$[$②$]$のときである．共有点が$2$個であるのは，$k$の値が$[$③$]$の範囲のときであり，共有点が$3$個であるのは，$k$の値が$[$④$]$のときであり，共有点が$4$個であるのは，$k$の値が$[$⑤$]$の範囲のときである．
(2)$C$と直線$y=1$とで囲まれる部分の面積を$S$とするとき，$S$の値は$S=[$⑥$](\sqrt{2}-1)$である．

次の$[　]$を数値でうめよ．

放物線$y=ax^2+bx+c$の頂点の$x$座標は$\displaystyle \frac{11}{12}$であり，この放物線は$x$座標が$1$の点で直線$\displaystyle y=\frac{x}{3}+1$に接している．このとき，$a=[$①$]$，$b=[$②$]$，$c=[$③$]$である．この$a,\ b,\ c$に対し，$f(x)$を
\[ f(x)=\left\{ \begin{array}{lll}
ax^2+bx+c & & x \leqq 1 \\ \\
\displaystyle \frac{x}{3}+1 & & x>1
\end{array} \right. \]
と定め
\[ F(t)=\int_t^{t+1} f(x) \, dx \]
とおく．このとき，$F(t)$は$0 \leqq t \leqq 1$である$t$に対し
\[ F(t)=[$④$]t^3+[$⑤$]t^2-[$⑥$]t+\frac{11}{6} \]
と表される．$t$が$0 \leqq t \leqq 1$の範囲を動くとき，$F(t)$の値が最小になるのは$t=[$④chi$]$のときである．

$r$を正の定数とするとき，次の各問に答えよ．

(1)直線$x+y=3$と円$x^2+y^2=r^2$が共有点をもつような$r$の範囲を求めよ．
(2)直線$x+y=3$と円$x^2+y^2=r^2$が共有点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$をもち，$\mathrm{AB}=1$となる$r$の値を求めよ．
(3)実数$x,\ y$が不等式$x+y \geqq 3$を満たすとき，$x^2+y^2+2x+2y$の最小値を求めよ．

次の問に答えよ．

(1)$0 \leqq \theta<\pi$のとき，次の連立不等式を解け．
\[ \left\{ \begin{array}{l}
\cos 2\theta>\sin \theta \\
\displaystyle \sin 2\theta<\frac{1}{\sqrt{2}}
\end{array} \right. \]
(2)$a,\ b$を定数とし，$\displaystyle 0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{2}$とするとき，次の問に答えよ．

(i) 方程式$\sin^2 x+\sin x+a=0$が解をもつような$a$の範囲を求めよ．
(ii) 方程式$\sin^2 x-\sin x+b=0$が解をもつような$b$の範囲を求めよ．

次の各問いに答えよ．

(1)$(xy+1)(x+1)(y+1)+xy$を因数分解せよ．
(2)$\displaystyle \sin \theta+\cos \theta=\frac{3}{5} (0^\circ \leqq \theta \leqq 180^\circ)$のとき，$\sin \theta \cos \theta$の値を求めよ．

(3)$\displaystyle \frac{2 \sqrt{7}}{\sqrt{5}+1}-\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{7}+\sqrt{5}}$の分母を有理化して簡単にせよ．

(4)$8$個の異なる荷物を$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$の$3$人に分けるとき，$\mathrm{A}$に$3$個，$\mathrm{B}$に$2$個，$\mathrm{C}$に$3$個のように分ける方法は何通りあるか．
(5)方程式$x^2+(2a+1)x+a+1=0$が実数解をもつように，定数$a$の値の範囲を求めよ．
(6)$2$次関数$y=x^2-2mx+3m$の最小値を$k$とするとき，$k$の最大値とそのときの$m$の値を求めよ．

関数$f(x)=|x^2-4|$と$y$軸上の点$\mathrm{C}(0,\ 8)$を通る傾きが$k$である直線$\ell$について，以下の問に答えよ．ただし，$k$は定数とする．

(1)直線$\ell$の方程式を$k$を用いて表せ．

(2)$\displaystyle S(a)=\int_{-a}^a f(x) \, dx$とするとき，$S(2)$と$S(3)$を求めよ．

(3)$k=0$であるとき，直線$\ell$と関数$f(x)$で囲まれる部分の面積を求めよ．
(4)$k=4$であるとき，直線$\ell$と関数$f(x)$で囲まれる部分の面積を求めよ．
(5)$k$が範囲$0<k<4$にあるときの直線$\ell$と関数$f(x)$で囲まれる部分の面積を$k$を用いて表せ．

以下の問に答えよ．

(1)$2$次関数$\displaystyle y=-\frac{3}{2}x^2+5x-3 (-1 \leqq x \leqq 2)$の最大値を求めよ．
(2)$2$次方程式$\displaystyle x^2+kx+k^2+\frac{7}{2}k-6=0$が異なる$2$つの実数解を持つとき，定数$k$の値の範囲は$A<k<B$のようになる．$A,\ B$の値を求めよ．

(3)式$\displaystyle \frac{\sqrt{5}-\sqrt{2}}{\sqrt{7}+\sqrt{5}+\sqrt{2}}$の分母を有理化すると，$\displaystyle \frac{A \sqrt{10}+B \sqrt{35}+C \sqrt{14}}{20}$となるという．$A,\ B,\ C$の値を求めよ．
(4)不等式$3 |x+3|>4+x$の解は，$x<A,\ B<x$のようになる．$A,\ B$の値を求めよ．
(5)$2$つの放物線$y=2x^2-4x+7$と$y=-3x^2+8x+6$の$2$つの共有点と，点$(3,\ 5)$を通る放物線の方程式は，$y=Ax^2+Bx+C$となる．定数$A,\ B,\ C$の値を求めよ．

以下の問に答えよ．

(1)$2$次関数$\displaystyle y=-\frac{3}{2}x^2+5x-3 (-1 \leqq x \leqq 2)$の最大値を求めよ．
(2)$2$次方程式$\displaystyle x^2+kx+k^2+\frac{7}{2}k-6=0$が異なる$2$つの実数解を持つとき，定数$k$の値の範囲は$A<k<B$のようになる．$A,\ B$の値を求めよ．

(3)式$\displaystyle \frac{\sqrt{5}-\sqrt{2}}{\sqrt{7}+\sqrt{5}+\sqrt{2}}$の分母を有理化すると，$\displaystyle \frac{A \sqrt{10}+B \sqrt{35}+C \sqrt{14}}{20}$となるという．$A,\ B,\ C$の値を求めよ．
(4)不等式$3 |x+3|>4+x$の解は，$x<A,\ B<x$のようになる．$A,\ B$の値を求めよ．
(5)$2$つの放物線$y=2x^2-4x+7$と$y=-3x^2+8x+6$の$2$つの共有点と，点$(3,\ 5)$を通る放物線の方程式は，$y=Ax^2+Bx+C$となる．定数$A,\ B,\ C$の値を求めよ．

変数$\theta$の関数$f(\theta)=5 \sin^2 \theta+m \cos \theta-3$について，以下の問に答えよ．ただし，$m$は定数とする．

(1)$\cos \theta=t$とおいて，関数$f(\theta)$を$t$の関数として表したものを$g(t)$とおくとき，$g(t)$を求めよ．
(2)関数$g(t)$において定数$m$を$1$とする．

(i) 変数$\theta$が$0^\circ \leqq \theta \leqq 180^\circ$の範囲にあるとき，関数$g(t)$の最大値と最小値を求めよ．
(ii) 変数$\theta$が$90^\circ \leqq \theta \leqq 180^\circ$の範囲にあるとき，方程式$g(t)=0$を解け．

(3)変数$\theta$が$0^\circ \leqq \theta \leqq 180^\circ$の範囲にあるとき，関数$g(t)$の最大値を$m$を用いて表せ．
(4)変数$\theta$が$0^\circ \leqq \theta \leqq 180^\circ$の範囲にあるとき，方程式$f(\theta)=0$が異なる$2$個の解を持つための$m$の値の範囲を求めよ．

$x$の$2$次不等式を
\[ \begin{array}{lll}
x^2+2x-2<0 & & \cdots\cdots① \\
x^2-2ax+a^2-1>0 & & \cdots\cdots②
\end{array} \]
とする．以下の問に答えよ．

(1)$①$を解け．
(2)$②$を解け．
(3)$①$を満たす$x$の集合を$A$，$②$を満たす$x$の集合を$B$とする．$A \subset B$であるとき，$a$の値の範囲を求めよ．