次の各問の$[　]$に入る数値を書け．

(1)$x^{\log_5 x} = 25x$を満たす$x$は，大きい方から順に$x=[$1$]$と，$x=[$2$]$である．
(2)$y=x^3-ax^2+x+4$と$y=x$が，異なる$2$点のみを共有するとき，$a=[$3$]$であり，$x>0$の範囲で，$x=[$4$]$のとき共有点を持つ．
(3)放物線$\displaystyle C_1\ :\ y=\frac{x^2}{2}$と放物線$\displaystyle C_2\ :\ y=\frac{x^2}{2}-2x+4$にともに接する直線を$\ell$とするとき，$\ell$の傾きは，
$[$5$]$であり，$C_1,\ C_2,\ \ell$で囲まれた領域の面積は$[$6$]$である．

$f(x)=|2x^2-10x+9|$とおく．

(1)$y=f(x)$のグラフをかけ．
(2)$y=f(x)$のグラフと直線$y=ax+1$がちょうど$4$個の共有点をもつような，実数の定数$a$の値の範囲を求めよ．

次の文章中の$[ア]$から$[ラ]$までに当てはまる数字$0$～$9$を求めて記入せよ．ただし，分数は既約分数として表しなさい．

(1)数列$\{a_n\},\ \{b_n\} (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$は次の関係式を満たすとする．
\[ a_1=0, \quad \left\{ \begin{array}{l}
b_n=\displaystyle\frac{1}{5}a_n+1 \\
a_{n+1}=3b_n+2
\end{array} \right. \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
このとき，$b_1 = [ア]$で，$n \geq 1$に対して$b_{n+1} = \displaystyle\frac{[イ]}{[ウ]} b_n + \frac{[エ]}{[オ]}$となる．これより，
\[ b_n = \displaystyle\frac{[カ]}{[キ]} - \frac{[ク]}{[ケ]} \left(\frac{[コ]}{[サ]} \right)^{n-1} \quad (n \geq 1) \]
となるので，
\[ \lim_{n \to \infty} b_n = \frac{[シ]}{[ス]}, \qquad \lim_{n \to \infty} \frac{b_{2n}-b_n}{b_{n+1}-b_n} = \frac{[セ]}{[ソ]} \]
となる。また，
\[ \sum_{n=1}^{\infty} (a_{2n}-a_n) = \frac{[タ][チ][ツ]}{[テ][ト]} \]
である．
(2)複素数$z = \cos\theta + i\sin\theta (0 \leq \theta<2\pi)$に対して，複素数$\omega$を
\[ \omega = (4+3i)z + 6i\,\overline{z} \]
で定める．ただし，$i$は虚数単位を，$\overline{z}=\cos\theta-i\sin\theta$は$z$と共役な複素数を表す．
いま$z$の実部と虚部がともに$0$以上となる範囲で$\theta$を動かす．このとき，$\omega$の実部の最大値は[ナ]，最小値は[ニ]であり，$\omega \overline{\omega}$の最大値は[ヌ][ネ][ノ]，最小値は[ハ][ヒ]である．ただし，$\overline{\omega}$は$\omega$と共役な複素数を表す．

(3)$x>0$で定義された微分可能な関数$f(x)$が，
\[ f^\prime(x) = 2\log x + \frac{1}{7-2e} \int_1^{e} \frac{f(t)}{t}\, dt, \quad f(1)=0 \]
を満たすとする．ここで，$f^\prime(x)$は$f(x)$の導関数，$\log$は自然対数，$e$は自然対数の底である．$f(x)$を求めると，
\[ f(x) = [フ] x\log x - \frac{[ヘ]}{[ホ]} x + \frac{[マ]}{[ミ]} \quad (x>0) \]
となる．関数$f(x)$は$\displaystyle x=e^{-\frac{[ム]}{[メ]}}$のとき，最小値
\[ -[モ]e^{-\frac{[ヤ]}{[ユ]}} + \frac{[ヨ]}{[ラ]}\]
をとる。

次の$[　]$に当てはまる$0$～$9$の数字を解答欄に書け．

座標平面上にある$2$点$\mathrm{P}(2t,\ 2t^3)$，$\mathrm{Q}(-4,\ 4t^2-8)$が，$-2 \leqq t \leqq 2$の範囲で動く．$\ell:y=x+b$とし，$\mathrm{P}$と$\ell$の距離を$\alpha$，$\mathrm{Q}$と$\ell$の距離を$\beta$とする．$\mathrm{P}$は，$\ell$より上側にあり，$\mathrm{Q}$は，$\ell$より下側にあるとする．$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$，$\ell$の位置関係から$b$の範囲は，
$[ア]t^2 - [イ] < b < [ウ] t^3 - [エ]t$
となる．従って，$t$の範囲は，
$-[オ] < t < [カ]$
でなければならない．

$\displaystyle \alpha = \frac{1}{\sqrt{2}} |[キ]t^3 - [ク]t - b|,$
$\displaystyle \beta = \frac{1}{\sqrt{2}} |[ケ]t^2 - [コ] - b|$

だから，$\alpha = \beta$とすると，$b = (t+[サ])(t^2 - [シ])$である．
従って，$\displaystyle \alpha = \beta = \frac{1}{\sqrt{2}} |(t-[ス])(t^2-[セ])|$となり，
この値が，最大となるのは，$t=\frac{[ソ]-\sqrt{[タ]}}{[チ]}$のときで，そのときの値は
\[ \alpha = \frac{[ツ][テ]\sqrt{[ト]}+[ナ]\sqrt{[ニ][ヌ]}}{[ネ][ノ]} \]
である．

$a$を実数とする．$xy$平面上の$2$曲線

\qquad $C_1: y=e^x, \quad C_2: y=-e^{1-x}+a$
を考える．
$C_1$上の点$\mathrm{P}(t,\ e^t) (t>0)$における$C_1$の接線$\ell_t$が，$C_2$上の点$\mathrm{Q}(s,\ -e^{1-s}+a)$における$C_2$の接線にもなっているとき，次の問いに答えよ．ただし，$e$は自然対数の底である．
(1)$t$と$s$の関係式を求めよ．また，$a$を$t$を用いて表せ．
(2)$C_1,\ \ell_t$および$y$軸で囲まれた部分の面積を$S_1(t)$とし，$C_2,\ \ell_t$および$y$軸で囲まれた部分の面積を$S_2(t)$とする．ただし，$\mathrm{Q}$が$y$軸上にあるときは$S_2(t)=0$とする．

(i) $S_1(t),\ S_2(t)$を$t$を用いて表せ．
(ii) $S(t)=S_1(t)+S_2(t)$とする．$t$が$t>0$の範囲を動くとき，$t$の関数$S(t)$の最小値を求めよ．

$a,\ b$を実数とし，$C_1,\ C_2$をそれぞれ次の$2$次関数のグラフとする．
\[ C_1: y=x^2, \quad C_2: y=-(x-a)^2+2a+b \]

(1)$C_1$と$C_2$が共有点をもつための条件を$a$と$b$で表すと
\[ a^2+[タ]a+[チ]b \leqq 0 \]
となる．特に$b$のとりうる値の範囲は$b \geqq [ツ]$であり，$b=[ツ]$のとき$C_1$と$C_2$はただ$1$つの共有点$\left( [テ],\ [ト] \right)$をもつ．
(2)$b=6$とし，$C_1$と$C_2$は共有点をもつとすると，
\[ [ナ] \leqq a \leqq [ニ] \]
である．このとき，$C_1$と$C_2$で囲まれた図形を$D$とすると，$D$の面積$S$は
\[ S=\frac{1}{3} \left( [ヌ]a^2+[ネ]a+[ノ] \right)^{\frac{3}{2}} \]
と表される．$a=[ハ]$のとき$S$は最大値$\displaystyle \frac{[ヒ]}{[フ]}$をとる．
(3)$a=[ハ]$，$b=6$とし，$C_1$と$C_2$で囲まれた図形を$D_0$とする．点$\mathrm{P}(x,\ y)$が$D_0$内を動くとき，$x+2y$の最大値は$\displaystyle \frac{[ヘ]}{[ホ]}$，最小値は$\displaystyle \frac{[マ]}{[ミ]}$である．

次の空欄$[ア]$から$[コ]$に当てはまる数または式を記入せよ．

(1)方程式$(x+3)|x-4|+2x+6=0$の解は$x=[ア]$である．
(2)曲線$y=x^3-3x^2+1$上の点$(1,\ -1)$における接線が，放物線$y=ax^2+a$と接するとき，$a=[イ]$である．ただし，$a>0$とする．
(3)$\displaystyle\frac{1}{2-i}+\frac{1}{3+i}=a+bi$となる実数$a,\ b$を求めると，$a=[ウ]$，$b=[エ]$である．ただし，$i$は虚数単位とする．
(4)白玉$4$個と赤玉$2$個が入っている袋がある．この袋から同時に玉を$3$個とりだすとき，白玉の数がちょうど$2$個である確率は$[オ]$である．
(5)$\displaystyle\tan \theta=\frac{1}{2}$のとき，$\displaystyle\frac{\sin \theta}{1+\cos \theta} = [カ]$である．ただし，$\displaystyle 0 < \theta < \frac{\pi}{2}$とする．
(6)実数$x$が$x>1$の範囲を動くとき，$\log_3 x + 3\log_x 3$の最小値は$[キ]$である．
(7)関数$f(x)$が実数$a$に対して，等式$\displaystyle\int_a^x f(t)\, dt = x^3+x^2-6x-a^2-9$を満たすとき，$a$の値は$[ク]$である．
(8)$\triangle \mathrm{ABC}$の辺$\mathrm{BC}$上に点$\mathrm{D}$があり，$\triangle \mathrm{ABD}$と$\triangle \mathrm{ACD}$の面積の比が$3:2$であるとき，$\overrightarrow{\mathrm{AD}} = [ケ]\overrightarrow{\mathrm{AB}}+[コ]\overrightarrow{\mathrm{AC}}$である．

関数$y=x^3-(a+2)x+a^2-2a$とそのグラフ$C_a$に対して，次の問いに答えよ．ただし，$a \geqq 1$とする．

(1)$C_a$と直線$x=1$との交点の座標を$(1,\ t)$とするとき，$a$の変化に応じて$t$のとり得る値の範囲を求めよ．
(2)この関数が$x=\sqrt{2}$で極値をとるとき，$a$の値および極大値，極小値を求めよ．
(3)$a=1$としたときのグラフを$C_1$とする．2つのグラフ$C_a$と$C_1$および$y$軸とで囲まれた図形の面積が4となるとき，$a$の値を求めよ．

(文学部III)\\
\quad $2$次方程式$x^2+2ax+4a^2-ka+4=0$を$(*)$とおく．ただし，$a$と$k$は実数の定数とする．

(1)$k=8$のとき，$(*)$が実数解を持たないような$a$の値の範囲を求めよ．
(2)$-1$以外のすべての$a$に対して$(*)$が実数解を持たないような$k$の値の範囲を求めよ．

次の問いに答えよ．

(1)$a>0$として，$x=\log_2 a$とおく．
$x=5$のとき，$a=[アイ]$である．次に，$2a \neq 1$のとき，不等式
\[ \log_2 256a > 3 \log_{2a} a\]
の左辺は$[ウ]+x$，右辺は$\displaystyle \frac{[エ]x}{[オ]+x}$である．したがって，上の不等式を満たす$x$の値の範囲は
\[ [カキ] < x < [クケ],\quad x > [コサ] \]
である．
(2)$\theta$が$\displaystyle 0 \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{4}$を満たすとする．また，
\[ s=\frac{1}{4}\cos \theta, \quad t=\frac{16\sqrt{3}}{3}\sin \left( \theta+\frac{2}{3}\pi \right) \]
とおく．$s$のとり得る値の範囲は
\[ 2^{\frac{[シス]}{[セ]}} \leqq s \leqq 2^{[ソタ]} \]
であり，$t$のとり得る値の範囲は
\[ [チ]\sqrt{[ツ]} - \frac{[テ]\sqrt{[ト]}}{[ナ]} \leqq t \leqq [ニ] \]
である．
\[ st=[ヌ]+\frac{[ネ]\sqrt{[ノ]}}{[ハ]} \sin \left( 2\theta + \frac{[ヒ]}{[フ]}\pi \right) \]
であり，$st<1$となる$\theta$の値の範囲は，$\displaystyle \theta > \frac{\pi}{[ヘ]}$である．