座標平面上で$y=x+1$で表される直線を$\ell$とする．また，4点A$(-1,\ 1)$，B$(0,\ -2)$，C$(3,\ 1)$，D$(1,\ 3)$をとる．以下の問いに答えよ．

(1)領域$R_1=\{ (x,\ y) \;|\; y>x+1 \}$と$R_2=\{ (x,\ y) \;|\; y \leqq x+1 \}$を考える．4点A，B，C，Dはそれぞれ，領域$R_1,\ R_2$のどちらにあるか答えよ．
(2)$k$を定数とし，直線$y=x+k$上に点E$(x,\ x+k)$をとる．Eと直線$\ell$の距離が$\sqrt{2}$となる$k$の値をすべて求めよ．
(3)四角形ABCDの周または内部で，直線$\ell$との距離が$\sqrt{2}$以下となる点の範囲を図示せよ．
(4)点P$(x,\ y)$が(3)で求めた範囲を動くとき，$2x+y$がとる値の最小値と最大値を求めよ．

確率変数$Z$が標準正規分布$N(0,\ 1)$に従うとき，
\[ P(Z>1.96)=0.025,\ P(Z>2.58)=0.005,\ \frac{2.58}{1.96} \fallingdotseq 1.32 \]
であるとして，次の各問いに答えよ．

(1)確率変数$X$のとる値$x$の範囲が$-1 \leqq x \leqq 1$で，その確率密度関数が$f(x)=k(1-x^2)$で与えられている．このとき，定数$k$の値と$X$の平均を求めよ．
(2)母平均$m$，母標準偏差10の母集団から大きさ100の無作為標本を抽出し，その標本平均を$\overline{X^{\phantom{1}}\!\!}$とする．標本の大きさ100は十分大きい数であるとみなせるとする．

(3)標本平均$\overline{X^{\phantom{1}}\!\!}$を用いて，母平均$m$の信頼度$95\%$の信頼区間を求めよ．
(4)母平均$m$を信頼度$99\%$の信頼区間を用いて区間推定するとき，信頼区間の幅を(a)で求めた幅より小さくするためには，標本の大きさ$n$をいくつ以上にとればよいか求めよ．

$\ell_1,\ \ell_2,\ \ell_3$を座標空間の点$\mathrm{O}$を始点とする$3$つの相異なる半直線とする．$\ell_1$と$\ell_2$及び$\ell_1$と$\ell_3$が$\mathrm{O}$においてなす角は$\displaystyle \frac{\pi}{3}$であるとし，$\ell_2$と$\ell_3$が$\mathrm{O}$においてなす角を$\displaystyle \theta \ \left( 0<\theta \leqq \frac{2\pi}{3} \right)$とする．$\mathrm{O}$とは異なる$\ell_1,\ \ell_2,\ \ell_3$上の$3$点$\mathrm{P}_1$，$\mathrm{P}_2$，$\mathrm{P}_3$を頂点とする正三角形が存在するような$\cos \theta$の範囲を求めよ．

$\ell_1,\ \ell_2,\ \ell_3$を座標空間の点Oを始点とする3つの相異なる半直線とする．$\ell_1$と$\ell_2$及び$\ell_1$と$\ell_3$がOにおいてなす角は$\displaystyle \frac{\pi}{3}$であるとし，$\ell_2$と$\ell_3$がOにおいてなす角を$\displaystyle \theta \ \left( 0<\theta \leqq \frac{2\pi}{3} \right)$とする．$x,\ y$を正数とし，$\ell_1,\ \ell_2,\ \ell_3$上に点P$_1$，P$_2$，P$_3$をそれぞれ，$\text{OP}_1=1,\ \text{OP}_2=x,\ \text{OP}_3=y$となるようにとる．$\triangle$P$_1$P$_2$P$_3$が正三角形となる$x,\ y$が存在するような$\cos \theta$の範囲を求めよ．

$\ell_1,\ \ell_2,\ \ell_3$を座標空間の点Oを始点とする3つの相異なる半直線とする．$\ell_1$と$\ell_2$及び$\ell_1$と$\ell_3$がOにおいてなす角は$\displaystyle \frac{\pi}{3}$であるとし，$\ell_2$と$\ell_3$がOにおいてなす角を$\displaystyle \theta \ \left( 0<\theta \leqq \frac{2\pi}{3} \right)$とする．Oとは異なる$\ell_1,\ \ell_2,\ \ell_3$上の3点P$_1$，P$_2$，P$_3$を頂点とする正三角形が存在するような$\cos \theta$の範囲を求めよ．

$x>0$に対して，$\displaystyle f_n(x)=x^{\frac{1}{n}}\log x \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$とおく．このとき，次の問いに答えよ．

(1)関数$f_n(x)$の極値と，極値を与える$x$の値を求めよ．
(2)(1)で求めた$x$の値を$a_n$とするとき，$x \geqq a_n$の範囲における曲線$y=f_n(x)$と直線$x=a_n$および$x$軸で囲まれた図形の面積$S_n$を求めよ．
(3)極限$\displaystyle \lim_{n \to \infty}S_n$を求めよ．ただし，必要があれば，$\displaystyle \lim_{n \to \infty}ne^{-n}=0$を用いてもよい．

$x>0$に対して，$\displaystyle f_n(x)=x^{\frac{1}{n}}\log x \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$とおく．このとき，次の問いに答えよ．

(1)関数$f_n(x)$の極値と，極値を与える$x$の値を求めよ．
(2)(1)で求めた$x$の値を$a_n$とするとき，$x \geqq a_n$の範囲における曲線$y=f_n(x)$と直線$x=a_n$および$x$軸で囲まれた図形の面積$S_n$を求めよ．
(3)極限$\displaystyle \lim_{n \to \infty}S_n$を求めよ．ただし，必要があれば，$\displaystyle \lim_{n \to \infty}ne^{-n}=0$を用いてもよい．

$t$を実数とし，$\displaystyle f(t)=\int_0^2 |x^2-2x+1-t^2| \, dt$とおく．このとき，次の問いに答えよ．

(1)$f(0)$と$f(1)$の値を求めよ．
(2)$0<t<1$のとき，$f(t)$を求めよ．
(3)$t$が$0 \leqq t \leqq 1$の範囲にあるとき，$f(t)$の最小値を求めよ．

原点を$\mathrm{O}$とする座標平面上の$2$点$\mathrm{A}(2,\ 0)$，$\mathrm{B}(0,\ 2)$に対して，線分$\mathrm{OA}$上の点$\mathrm{P}$と線分$\mathrm{OB}$上の点$\mathrm{Q}$を，直線$\mathrm{PQ}$が三角形$\mathrm{OAB}$の面積を二等分するようにとる．下の問いに答えよ．

(1)点$\mathrm{Q}$の$y$座標が$t$のとき，直線$\mathrm{PQ}$の方程式と$t$の値の範囲を求めよ．
(2)(1)で求めた範囲で$t$を動かすとき，直線$\mathrm{PQ}$が通る点全体の領域を求め，図示せよ．

$a$を実数の定数とし，関数
\[ y=\cos 2x-2a \cos x+a^2-2a+3 \]
を考える．以下の問いに答えよ．

(1)$y$の最小値が$\displaystyle \frac{1}{2}$となるような$a$の値を求めよ．
(2)$(1)$で求めた$a$のもとで，$y$の最小値を与える$x$の値を$0 \leqq x \leqq \pi$の範囲で求めよ．