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国立 弘前大学 2012年 第1問放物線$y=x^2$を$C$とし，放物線$x-3=(y-7)^2$を$D$とする．$k$は定数として直線$y=2x+k$を$L$とする．$L$と$C$は異なる2点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$で交わり，$L$と$D$は異なる2点$\mathrm{R}$，$\mathrm{S}$で交わるとする．
(1)$k$の値の範囲を求めよ．
(2)線分$\mathrm{PQ}$と線分$\mathrm{RS}$の長さの和が最大になるときの$k$の値を求めよ．
(1)$k$の値の範囲を求めよ．
(2)線分$\mathrm{PQ}$と線分$\mathrm{RS}$の長さの和が最大になるときの$k$の値を求めよ．
国立 弘前大学 2012年 第4問次の問いに答えよ．
(1)$\displaystyle x+y=\frac{1}{3}\pi$のとき$\sin x+\sin y$のとりうる値の範囲を求めよ．
(2)$\displaystyle \sin x+\sin y = \frac{8}{5}$のとき$\sin (x+y)$のとりうる値の範囲を求めよ．
(1)$\displaystyle x+y=\frac{1}{3}\pi$のとき$\sin x+\sin y$のとりうる値の範囲を求めよ．
(2)$\displaystyle \sin x+\sin y = \frac{8}{5}$のとき$\sin (x+y)$のとりうる値の範囲を求めよ．
国立 弘前大学 2012年 第5問$f(\theta)=\cos 2\theta + 2\cos \theta,\ g(\theta)=\sin 2\theta+2\sin \theta$とする．
(1)$0 \leqq \theta \leqq \pi$の範囲において，関数$f(\theta),\ g(\theta)$の増減を調べよ．
(2)$xy$平面上の曲線$x=f(\theta),\ y=g(\theta) \ (-\pi \leqq \theta \leqq \pi)$で囲まれる図形の面積を求めよ．
(1)$0 \leqq \theta \leqq \pi$の範囲において，関数$f(\theta),\ g(\theta)$の増減を調べよ．
(2)$xy$平面上の曲線$x=f(\theta),\ y=g(\theta) \ (-\pi \leqq \theta \leqq \pi)$で囲まれる図形の面積を求めよ．
国立 岩手大学 2012年 第1問次の問いに答えよ．
(1)2次不等式$x^2+(a-3)x+a>0$がすべての実数$x$について成り立つように，実数$a$の値の範囲を求めよ．
(2)半径1の円に内接する正二十四角形の面積を求めよ．
(3)次の極限値を求めよ．
\[ \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^2} \left( e^{\frac{1}{n}} +2e^{\frac{2}{n}} +3e^{\frac{3}{n}}+\cdots + ne^{\frac{n}{n}} \right) \]
(1)2次不等式$x^2+(a-3)x+a>0$がすべての実数$x$について成り立つように，実数$a$の値の範囲を求めよ．
(2)半径1の円に内接する正二十四角形の面積を求めよ．
(3)次の極限値を求めよ．
\[ \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^2} \left( e^{\frac{1}{n}} +2e^{\frac{2}{n}} +3e^{\frac{3}{n}}+\cdots + ne^{\frac{n}{n}} \right) \]
国立 岩手大学 2012年 第1問次の問いに答えよ．
(1)2次不等式$x^2+(a-3)x+a>0$がすべての実数$x$について成り立つように，実数$a$の値の範囲を求めよ．
(2)$\displaystyle \frac{x+y}{5}=\frac{y+2z}{6}=\frac{z+3x}{7} \neq 0$のとき，$\displaystyle \frac{2x^2-2y^2+9z^2}{4x^2+y^2-8z^2}$の値を求めよ．
(3)半径1の円に内接する正二十四角形の面積を求めよ．
(1)2次不等式$x^2+(a-3)x+a>0$がすべての実数$x$について成り立つように，実数$a$の値の範囲を求めよ．
(2)$\displaystyle \frac{x+y}{5}=\frac{y+2z}{6}=\frac{z+3x}{7} \neq 0$のとき，$\displaystyle \frac{2x^2-2y^2+9z^2}{4x^2+y^2-8z^2}$の値を求めよ．
(3)半径1の円に内接する正二十四角形の面積を求めよ．
国立 名古屋工業大学 2012年 第1問3次関数
\[ f(x)=x^3-(1+2\cos \theta)x^2+(1+2\cos \theta)x-1 \]
について，以下の問いに答えよ．ただし，$0 \leqq \theta < 2\pi$とする．
(1)方程式$f(x)=0$の実数解を求めよ．
(2)関数$f(x)$が極値をもつための$\theta$の範囲を求めよ．
(3)曲線$y=f(x)$の変曲点の$x$座標を$g(\theta)$と表す．$\theta$を$0 \leqq \theta < 2\pi$の範囲で動かしたときの$g(\theta)$の最大値と最小値，および，そのときの$\theta$の値を求めよ．
\[ f(x)=x^3-(1+2\cos \theta)x^2+(1+2\cos \theta)x-1 \]
について，以下の問いに答えよ．ただし，$0 \leqq \theta < 2\pi$とする．
(1)方程式$f(x)=0$の実数解を求めよ．
(2)関数$f(x)$が極値をもつための$\theta$の範囲を求めよ．
(3)曲線$y=f(x)$の変曲点の$x$座標を$g(\theta)$と表す．$\theta$を$0 \leqq \theta < 2\pi$の範囲で動かしたときの$g(\theta)$の最大値と最小値，および，そのときの$\theta$の値を求めよ．
国立 岩手大学 2012年 第1問次の問いに答えよ．
(1)2次不等式$x^2+(a-3)x+a>0$がすべての実数$x$について成り立つように，実数$a$の値の範囲を求めよ．
(2)$\displaystyle \frac{x+y}{5}=\frac{y+2z}{6}=\frac{z+3x}{7} \neq 0$のとき，$\displaystyle \frac{2x^2-2y^2+9z^2}{4x^2+y^2-8z^2}$の値を求めよ．
(3)半径1の円に内接する正二十四角形の面積を求めよ．
(1)2次不等式$x^2+(a-3)x+a>0$がすべての実数$x$について成り立つように，実数$a$の値の範囲を求めよ．
(2)$\displaystyle \frac{x+y}{5}=\frac{y+2z}{6}=\frac{z+3x}{7} \neq 0$のとき，$\displaystyle \frac{2x^2-2y^2+9z^2}{4x^2+y^2-8z^2}$の値を求めよ．
(3)半径1の円に内接する正二十四角形の面積を求めよ．
国立 奈良女子大学 2012年 第1問$x$を正の実数とする．三角形$\mathrm{ABC}$において，$\mathrm{AB}=x,\ \mathrm{BC}=x+1,\ \mathrm{CA}=x+2$とする．次の問いに答えよ．
(1)$x$のとり得る値の範囲を求めよ．
(2)$\angle \mathrm{B}=\theta$とおくとき，$\cos \theta$を$x$を用いて表せ．
(3)三角形$\mathrm{ABC}$が鈍角三角形となる$x$の値の範囲を求めよ．
(1)$x$のとり得る値の範囲を求めよ．
(2)$\angle \mathrm{B}=\theta$とおくとき，$\cos \theta$を$x$を用いて表せ．
(3)三角形$\mathrm{ABC}$が鈍角三角形となる$x$の値の範囲を求めよ．
国立 岩手大学 2012年 第3問$f(x)=x^3-3x$とするとき，次の問いに答えよ．
(1)曲線$y=f(x)$上の点$(a,\ f(a))$における接線の方程式を求めよ．
(2)曲線$y=f(x)$の接線のうち，点$(2,\ 2)$を通るものの方程式をすべて求めよ．
(3)点$(2,\ t)$から曲線$y=f(x)$に3本の接線が引けるとき，$t$の値の範囲を求めよ．
(1)曲線$y=f(x)$上の点$(a,\ f(a))$における接線の方程式を求めよ．
(2)曲線$y=f(x)$の接線のうち，点$(2,\ 2)$を通るものの方程式をすべて求めよ．
(3)点$(2,\ t)$から曲線$y=f(x)$に3本の接線が引けるとき，$t$の値の範囲を求めよ．
国立 鳥取大学 2012年 第1問袋の中に$1$から$n$までの自然数が$1$つずつ書かれたボールが$n$個入っている．次の問いに答えよ．ただし$n \geqq 3$とする．
(1)袋の中から$3$個のボールを同時に取り出すとき，$3$個のボールに書かれた数の和が$8$になる確率を求めよ．
(2)袋から$1$個のボールを取り出して，書かれている数字を記録し袋に戻す．これを$3$回繰り返すとき，記録された$3$つの数字のうち，ちょうど$2$つが同じ数字になる確率を求めよ．
(3)$(2)$で求めた確率が$\displaystyle \frac{1}{2}$以上となる$n$の範囲を求めよ．
(1)袋の中から$3$個のボールを同時に取り出すとき，$3$個のボールに書かれた数の和が$8$になる確率を求めよ．
(2)袋から$1$個のボールを取り出して，書かれている数字を記録し袋に戻す．これを$3$回繰り返すとき，記録された$3$つの数字のうち，ちょうど$2$つが同じ数字になる確率を求めよ．
(3)$(2)$で求めた確率が$\displaystyle \frac{1}{2}$以上となる$n$の範囲を求めよ．