$xy$平面上に，点$(0,\ 1)$を通り，傾きが$k$の直線$\ell$がある．

(1)$xy$平面において，$\ell$に関して点P$(a,\ b)$と対称な点をQ$(s,\ t)$とする．このとき，$a,\ b,\ k$を用いて$s,\ t$を表せ．ただし，点P$(a,\ b)$は$\ell$上にないとする．
(2)$xy$平面において，$\ell$に関して原点O$(0,\ 0)$と対称な点をAとする．$k$が$-1 \leqq k \leqq 1$の範囲を動くとき，線分OAの長さの最大値と最小値を求めよ．
(3)$k$が$-1 \leqq k \leqq 1$の範囲を動くときの点Aの軌跡を$C$とする．$C$と直線$y=1$で囲まれた図形の面積を求めよ．

次の$2$つの条件$\maru{1}, \maru{2}$をみたす自然数$n$について考える．\\
\quad \maru{1} $n$は素数ではない．\\
\quad \maru{2} $l,\ m$を$1$でも$n$でもない$n$の正の約数とすると，必ず
\[ |l-m| \leqq 2 \]
\qquad である．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)$n$が偶数のとき，$\maru{1}, \maru{2}$をみたす$n$をすべて求めよ．
(2)$n$が$7$の倍数のとき，$\maru{1}, \maru{2}$をみたす$n$をすべて求めよ．
(3)$2 \leqq n \leqq 1000$の範囲で，$\maru{1}, \maru{2}$をみたす$n$をすべて求めよ．

$k$は実数，$a,\ b,\ c,\ d$は$ad-bc=1$を満たす実数とする．行列$A=\left(
\begin{array}{cc}
a & b \\
c & d
\end{array}
\right)$の表す移動は以下の$3$条件を満たすとする．\\
\quad (イ)\ 直線$y=x$上の点は直線$y=x$上の点に移る．\\
\quad (ロ)\ 直線$y=-x$上の点は直線$y=-x$上の点に移る．\\
\quad (ハ)\ $x$軸上の点は直線$y=kx$上の点に移る．

(1)$k$のとりうる値の範囲を求めよ．
(2)$A$を$k$で表せ．

$\displaystyle -\frac{\pi}{2} \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{2}$で定義された関数
\[ f(\theta) = 4\cos 2\theta \sin \theta + 3\sqrt{2} \cos 2\theta -4\sin \theta \]
を考える．

(1)$x=\sin \theta$とおく．$f(\theta)$を$x$で表せ．
(2)$f(\theta)$の最大値と最小値，およびそのときの$\theta$の値を求めよ．
(3)方程式$f(\theta) = k$が相異なる3つの解をもつような実数$k$の値の範囲を求めよ．

$a$を正の定数とし，座標平面上の$2$曲線$C_1:y=e^{x^2},\ C_2:y=ax^2$を考える．このとき以下の問いに答えよ．ただし必要ならば$\displaystyle \lim_{t \to +\infty} \frac{e^t}{t}=+\infty$であることを用いてもよい．

(1)$t>0$の範囲で，関数$\displaystyle f(t)=\frac{e^t}{t}$の最小値を求めよ．
(2)$2$曲線$C_1,\ C_2$の共有点の個数を求めよ．
(3)$C_1,\ C_2$の共有点の個数が$2$のとき，これらの$2$曲線で囲まれた領域を$y$軸のまわりに$1$回転させてできる立体の体積を求めよ．

$f(x)=4x(1-x)$とする．このとき
\[ \left\{
\begin{array}{l}
f_1(x)=f(x), \\
f_{n+1}(x) = f_n(f(x))
\end{array}
\right. \]
によって定まる多項式$f_n(x)$について以下の問いに答えよ．

(1)方程式$f_2(x)=0$を解け．
(2)$0 \leqq t < 1$を満たす定数$t$に対し，方程式$f(x)=t$の解を$\alpha(t),\ \beta(t)$とする．$c$が$0 \leqq c <1$かつ$f_n(c)=0$を満たすとき，$\alpha(c),\ \beta(c)$は$f_{n+1}(x)=0$の解であることを示せ．
(3)$0 \leqq x \leqq 1$範囲での方程式$f_n(x)=0$の異なる解の個数を$S_n$とする．このとき$S_{n+1}$を$S_n$で表し，一般項$S_n$を求めよ．

実数$a,\ b$に対して，$f(x)=x^2-2ax+b,\ g(x)=x^2-2bx+a$とおく．

(1)$a \neq b$のとき，$f(c)=g(c)$を満たす実数$c$を求めよ．
(2)(1)で求めた$c$について，$a,\ b$が条件$a<c<b$を満たすとする．このとき，連立不等式
\[ f(x)<0 \quad \text{かつ} \quad g(x)<0 \]
が解をもつための必要十分条件を$a,\ b$を用いて表せ．
(3)一般に$a<b$のとき，連立不等式
\[ f(x)<0 \quad \text{かつ} \quad g(x)<0 \]
が解をもつための必要十分条件を求め，その条件を満たす点$(a,\ b)$の範囲を$ab$平面上に図示せよ．

実数$t$に対し，$xy$平面において$2$つの位置ベクトル
\[ \overrightarrow{\mathrm{OA}} = \left(\strut \frac{t}{2}+1,\ \frac{t}{2} \right),\ \overrightarrow{\mathrm{OB}} = \left(\strut t,\ \frac{t^2}{2} \right) \]
を考える．

(1)次の条件を満たす$t$が存在する実数$s$の範囲を求めよ．\\
\quad $\lceil$ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$は，ベクトル$(1,\ s)$に平行である．$\rfloor$
(2)次の条件を満たす$t$が存在する実数$s$の範囲を求めよ．\\
\quad $\lceil$ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$は，ベクトル$(1,\ s)$に平行であり，かつ$t>1$である．

実数$t$に対し，$xy$平面において$2$つの位置ベクトル
\[ \overrightarrow{\mathrm{OA}} = \left(\strut \frac{t}{2}+1,\ \frac{t}{2} \right),\ \overrightarrow{\mathrm{OB}} = \left(\strut t,\ \frac{t^2}{2} \right) \]
を考える．

(1)次の条件を満たす$t$が存在する実数$s$の範囲を求めよ．\\
\quad $\lceil$ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$は，ベクトル$(1,\ s)$に平行である．$\rfloor$
(2)次の条件を満たす$t$が存在する実数$s$の範囲を求めよ．\\
\quad $\lceil$ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$は，ベクトル$(1,\ s)$に平行であり，かつ$t>1$である．

$a$を正の実数とする．$2$つの放物線
\[ y=\frac{1}{2}x^2-3a \]
\[ y= -\frac{1}{2}x^2 +2ax -a^3 -a^2 \]
が異なる$2$点で交わるとし，$2$つの放物線によって囲まれる部分の面積を$S(a)$とする．以下の問に答えよ．

(1)$a$の値の範囲を求めよ．
(2)$S(a)$を$a$を用いて表せ．
(3)$S(a)$の最大値とそのときの$a$の値を求めよ．