次の問いに答えなさい．

(1)$2$次不等式$2x^2-3x-2 \geqq 0$を解きなさい．
(2)実数$x,\ y$が$2x^2+y^2-3x=2$を満たすとき，$x$と$y$の取りうる値の範囲を求めなさい．
(3)$2x^2+y^2-3x=2$のとき，$2y^2+6 |x|+3$の最大値および最小値を求めなさい．

実数$x,\ y$が条件$x^2+xy+y^2=6$を満たしながら動くとき
\[ x^2y+xy^2-x^2-2xy-y^2+x+y \]
がとりうる値の範囲を求めよ．

次の条件($*$)を満たす正の実数の組$(a,\ b)$の範囲を求め，座標平面上に図示せよ．\\
($*$) \; $\cos a\theta = \cos b\theta$かつ$0<\theta \leqq \pi$となる$\theta$がちょうど$1$つある．

実数$x,\ y$が条件$x^2+xy+y^2=6$を満たしながら動くとき
\[ x^2y+xy^2-x^2-2xy-y^2+x+y \]
がとりうる値の範囲を求めよ．

次の2つの条件$\maru{1}, \maru{2}$をみたす自然数$n$について考える．\\
\quad \maru{1} $n$は素数ではない．\\
\quad \maru{2} $l,\ m$を1でも$n$でもない$n$の正の約数とすると，必ず
\[ |l-m| \leqq 2 \]
\qquad である．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)$n$が偶数のとき，$\maru{1}, \maru{2}$をみたす$n$をすべて求めよ．
(2)$n$が7の倍数のとき，$\maru{1}, \maru{2}$をみたす$n$をすべて求めよ．
(3)$2 \leqq n \leqq 1000$の範囲で，$\maru{1}, \maru{2}$をみたす$n$をすべて求めよ．

$a$を正の実数とし，$x,\ y$に関する次の不等式を考える．
\[ \begin{array}{ll}
3y \geqq 5x & \cdots\cdots① \\
4y \geqq 7a & \cdots\cdots② \\
x-y \geqq 3-a & \cdots\cdots③
\end{array} \]

(1)$①,\ ②$を同時に満たす点$(x,\ y)$のなす領域を$xy$平面上に図示せよ．
(2)$①,\ ②,\ ③$を同時に満たす実数の組$(x,\ y)$が存在するような$a$の範囲を求めよ．

関数$f(x)$を
\[ f(x) = \left| \,2\, \cos^2 x -2\sqrt{3} \, \sin x \, \cos x - \sin x + \sqrt{3}\, \cos x - \frac{5}{4} \, \right| \]
と定める．以下の問いに答えよ．

(1)$t=-\sin x + \sqrt{3} \cos x$とおく．$f(x)$を$t$の関数として表せ．
(2)$x$が$0 \leqq x \leqq 90^\circ$の範囲を動くとき，$t$のとりうる値の範囲を求めよ．
(3)$x$が$0 \leqq x \leqq 90^\circ$の範囲を動くとき，$f(x)$のとりうる値の範囲を求めよ．また，$f(x)$が最大値をとる$x$は，$60^\circ < x< 75^\circ$を満たすことを示せ．

$s,\ t$を実数とする．以下の問いに答えよ．

(1)$x=s+t+1,\ y=s-t-1$とおく．$s,\ t$が$s \geqq 0,\;\; t \geqq 0$の範囲を動くとき，点$(x,\ y)$の動く範囲を座標平面内に図示せよ．
(2)$x=st+s-t+1,\ y=s+t-1$とおく．$s,\ t$が実数全体を動くとき，点$(x,\ y)$の動く範囲を座標平面内に図示せよ．

実数$a$と自然数$n$に対して，$x$の方程式
\[ a(x^2+|x+1|+n-1)=\sqrt{n}(x+1) \]
を考える．以下の問いに答えよ．

(1)この方程式が実数解を持つような$a$の範囲を，$n$を用いて表せ．
(2)この方程式が，すべての自然数$n$に対して実数解を持つような$a$の範囲を求めよ．

1個のさいころを3回続けて投げるとき，1回目に出る目を$\ell$，2回目に出る目を$m$，3回目に出る目を$n$で表すことにする．こ
のとき，以下の同いに答えよ．

(1)極限値
\[ \lim_{x \to -1} \frac{l x^2+mx+n}{x+1} \]
が存在する確率を求めよ．
(2)関数
\[ f(x) = \frac{l x^2+mx+n}{x+1} \]
が，$x > -1$の範囲で極値をとる確率を求めよ．