以下の各問いに答えよ．

(1)$x$の$2$次不等式$x^2-(a+2)x+2a<0$の解が$1<x<2$となるような定数$a$の値を求めよ．
(2)$x$の$2$次不等式$x^2-(a+2)x+2a<0$と$3x^2+2x-1>0$を同時に満たす整数$x$がただ$1$つ存在するように，定数$a$の範囲を求めよ．

関数$y=\sin^3 x+\cos^3 x (0 \leqq x<2\pi)$について，以下の問いに答えよ．

(1)$t=\sin x+\cos x$として，$\sin x \cos x$と$y$をそれぞれ$t$の関数で表せ．
(2)(1)で定めた$t$のとりうる値の範囲を求めよ．
(3)$y$の最大値と最小値，および，そのときの$x$の値をそれぞれ求めよ．

$s$を実数とするとき，座標平面上の$3$点$\mathrm{O}(0,\ 0)$，$\mathrm{A}(-1,\ 2)$，$\mathrm{B}(s,\ |1-s|)$に対して，以下の問いに答えよ．

(1)$2$つのベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$の内積を$t$とおく．$t$を$s$の関数で表せ．また，その$s$の関数を$f(s)$とおくとき，$t=f(s)$のグラフを描け．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$のなす角を$\theta$とするとき，$\cos \theta \leqq 0$となる$s$の範囲を求めよ．
(3)線分$\mathrm{AB}$の中点を$\mathrm{C}$とするとき，線分$\mathrm{OC}$の長さの最小値を求めよ．また，そのときの$s$の値を求めよ．

$k$を$0<k<1$の範囲の定数とする．直線$\ell:y=kx$と曲線$C:y=|x^2-2x|$について以下の各問に答えよ．

(1)直線$\ell$と曲線$C$の交点$\mathrm{P}_1(x_1,\ y_1)$，$\mathrm{P}_2(x_2,\ y_2)$を求めよ．ただし，$0<x_1<x_2$とする．
(2)原点を$\mathrm{O}$として，線分$\mathrm{OP}_1$と曲線$C$で囲まれる部分の面積を$S_1$，線分$\mathrm{P}_1 \mathrm{P}_2$と曲線$C$で囲まれる部分の面積を$S_2$とする．このとき，$S_1$と$S_2$をそれぞれ$k$の関数で表せ．
(3)$S=S_1+S_2$とする．このとき，$S$が最小となる$k$の値を求めよ．

関数$f(x)=x^3-6x^2+9x-1$（$x$は実数）について，以下の問に答えよ．

(1)曲線$y=f(x)$の接線のうち，点$(0,\ 3)$を通るものすべての方程式を求めよ．また，その求め方を説明せよ．
(2)点$(1,\ 3)$を通る傾き$a$の直線と曲線$y=f(x)$が$3$点で交わるとき，$a$のとり得る値の範囲を求めよ．また，その求め方を説明せよ．

曲線$C:y=|x(x-2)|$と直線$\ell:y=kx$（$k$は定数）が原点$\mathrm{O}$以外に$2$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$で交わっている．ただし，点$\mathrm{B}$の$x$座標は点$\mathrm{A}$の$x$座標よりも大きいとする．また，点$\mathrm{B}$を通り，点$\mathrm{B}$とも原点$\mathrm{O}$とも異なる点$\mathrm{E}$において曲線$C$と接する直線を$m$とする．以下の問いに答えよ．

(1)定数$k$の値の範囲を求めよ．
(2)直線$m$と$y$軸との交点を$\mathrm{F}$とする．三角形$\mathrm{FOE}$は曲線$C$によって二つの図形に分割されている．それらの二つの図形の面積の比を求めよ．
(3)$k=1$のとき，点$\mathrm{E}$の座標を求めよ．

座標平面上において，原点を中心とする半径$1$の円に，放物線$\displaystyle C:y=-\frac{p}{2}x^2+q (p>0,\ q>0)$が異なる$2$点で接しているとする．以下の問いに答えよ．

(1)$p,\ q$の満たす関係式および$p,\ q$の取りうる範囲を求めよ．
(2)$x$軸と$C$で囲まれた図形（ただし，$y \geqq 0$）の面積$S$を$p$を用いて表せ．
(3)$(1)$の条件の下で$p$が動くとき，$S$の最小値を求めよ．

$2$次関数$f(x)=-x^2-2x+1$，$g(x)=-2x^2+px+q$について，以下の設問に答えよ．ただし，$g(1)=-2$，$g(-1)=0$であり，$p,\ q$は実数の定数とする．各設問とも，解答とともに導出過程も記述せよ．

(1)$p$と$q$の値を求めよ．
(2)$f(x)<g(x)$となる$x$の値の範囲を求めよ．
(3)$h(x)$を次のように定義する．

$f(x) \geqq g(x)$の場合は$h(x)=f(x)$
$f(x)<g(x)$の場合は$h(x)=g(x)$

次に，正の実数$k$に対して$M(k)$と$m(k)$を次のように定義する．

$M(k)$は$-k \leqq x \leqq k$における$h(x)$の最大値
$m(k)$は$-k \leqq x \leqq k$における$h(x)$の最小値
(i) $M(2)$と$m(2)$の値を求めよ．
(ii) $M(k)$と$m(k)$の値を$k$を用いて表せ．

$a$を正の定数とし，$f(x)=ae^{-ax}$とする．ただし，$e$を自然対数の底とする．原点を$\mathrm{O}$とし，曲線$y=f(x)$上の点$\mathrm{P}(s,\ f(s))$における接線$\ell$と$x$軸，$y$軸との交点をそれぞれ$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$とするとき，以下の設問に答えよ．各設問とも，解答とともに導出過程も記述せよ．

(1)接線$\ell$の方程式と$2$点$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$の座標を求めよ．
(2)曲線$y=f(x)$上の点$(1,\ f(1))$における接線と$x$軸，および直線$x=1$で囲まれた部分の面積を$S_1$とする．また，曲線$y=f(x)$と$x$軸，および$2$直線$x=1$，$x=t$で囲まれた部分の面積を$S_2$とする．ただし，$t>1$とする．このとき，$\displaystyle \lim_{t \to \infty} \frac{S_2}{S_1}$を求めよ．
(3)$s$の値が$s \geqq 0$の範囲で変化するとき，三角形$\mathrm{ROQ}$の面積$T(s)$の最大値とそのときの$s$の値を求めよ．

$3$次方程式$x^3-6ax^2+9a^2x-4a=0$が相異なる$3$つの実数解をもつような$a$の範囲を求めよ．