実数$x,\ y$が条件：$x^2+2xy+9y^2=6$を満たすとき，次の問に答えよ．

(1)$x+3y$のとり得る値の範囲を求めよ．
(2)$z=(x-3y)^2+2(x+3y)$の最大値と最小値を求めよ．

関数$y=4 \cos^3 x+3 \sin^2 x-6 \cos x (0 \leqq x \leqq 2\pi)$について以下の問いに答えなさい．

(1)$\cos x=t$とおくとき，$y=4 \cos^3 x+3 \sin^2 x-6 \cos x$を$t$の関数として表しなさい．
(2)$t$の取り得る範囲を求めなさい．
(3)$y=4 \cos^3 x+3 \sin^2 x-6 \cos x$の最大値と最小値を求めなさい．またそのときの$x$の値も求めなさい．

毎秒$60 \, \mathrm{m}$の速さで真上に打ち上げられた物体の$x$秒後の高さを$y \, \mathrm{m}$とすると，
\[ y=-5x^2+60x \qquad (0 \leqq x \leqq 12) \]
の関係が成り立つ．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)この物体が達する最高地点の高さを求めよ．
(2)物体の高さが$100 \, \mathrm{m}$以下である時間の範囲を求めよ．

関数$\displaystyle f(x)=\frac{1}{3}x^3+2x^2+ax+\frac{4}{3}$について，以下の問いに答えよ．

(1)$a=3$のとき，$y=f(x)$のグラフを書け．
(2)関数$f(x)$が極値をもつための$a$の範囲を求めよ．

$3$次方程式$x^3+(2m-7)x^2+(9-m)x-m-3=0$が，異なる$3$つの正の解をもつとき，定数$m$の値の範囲を求めなさい．

$a,\ b,\ c,\ p,\ q$を実数とし，整式$f(x)=x^4+ax^3+bx^2+cx-1$を整式$g(x)=x^3+px^2+qx+2$で割った余りは$x^2+1$であるとする．

(1)$f(x)=0$と$g(x)=0$は実数の範囲に共通の解をもたないことを示せ．
(2)$f(x)=0$と$g(x)=0$が共通の解をもつとき，$f(x)$と$g(x)$を求めよ．

$f(x)=4x^2+2x+4$，$g(x)=x^2-x+1$とするとき，次の問いに答えよ．

(1)すべての実数$x$に対して$f(x)>0$，$g(x)>0$が成り立つことを示せ．
(2)不等式
\[ \log_a \frac{f(x)}{g(x)}<\log_a (2a+1) \]
がすべての実数$x$に対して成り立つような$a$の値の範囲を求めよ．ただし$a>0$，$a \neq 1$とする．

座標平面上で，原点$\mathrm{O}$を始点とし第$1$象限の点$\mathrm{A}$を通る半直線$\mathrm{OA}$と$x$軸の正の向きとのなす角を$\displaystyle \theta \left( 0<\theta<\frac{\pi}{2} \right)$とする．点$\mathrm{B}$は$x$軸上にあり，$|\overrightarrow{\mathrm{OB}}|=b$，$|\overrightarrow{\mathrm{OA}}|=a$とする．原点$\mathrm{O}$から直線$\mathrm{AB}$に下ろした垂線と直線$\mathrm{AB}$との交点を$\mathrm{P}$とする．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)$\overrightarrow{\mathrm{AP}}=t \overrightarrow{\mathrm{AB}}$とおく．$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=t \overrightarrow{\mathrm{OB}}+(1-t) \overrightarrow{\mathrm{OA}}$であることを示し，$t$を$a,\ b,\ \theta$で表せ．
(2)$\theta$を固定し$b=1$とする．点$\mathrm{P}$が線分$\mathrm{AB}$上に存在するような$a$の値の範囲を求めよ．
(3)(2)において，$\triangle \mathrm{OAB}$の面積の最大値を求めよ．
(4)(2)において，$\displaystyle \theta=\frac{\pi}{3}$とする．面積が最大となる$\triangle \mathrm{OAB}$は直角三角形であることを示せ．

座標平面の$\displaystyle 0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{4}$の範囲において，$2$つの曲線$y=\cos x$と$y=\sin 2x$の交点の座標を$(a,\ b)$とし，$2$つの曲線$y=\cos x$と$y=\tan x$の交点の座標を$(c,\ d)$とする．次の問いに答えよ．

(1)$a,\ b$および$d^2$の値を求めよ．
(2)$c>a$であることを示せ．
(3)連立不等式
\[ 0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{4},\quad \cos x \leqq y \leqq \sin 2x,\quad y \geqq \tan x \]
の表す領域を図示し，その領域の面積を求めよ．

$2$つの曲線$C_1:y=\log x$および$C_2:y=\sqrt{ax}$を考える．ただし，$a$は正の定数である．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)曲線$C_1$上の点$(t,\ \log t)$における接線$\ell_1$の方程式，および曲線$C_2$上の点$(s,\ \sqrt{as})$における接線$\ell_2$の方程式を求めよ．ただし，$t>0,\ s>0$である．
(2)曲線$C_1$と曲線$C_2$の両方に接する直線が存在しないための$a$の値の範囲を求めよ．