$\theta$についての方程式
\[ \sin^2 \theta (\sin \theta+1)=k \cdots\cdots① \]
を考える．

(1)$①$が$\displaystyle -\frac{\pi}{2} \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{2}$の範囲でただ$1$つの解をもつような定数$k$の値の範囲は
\[ \frac{[ア]}{[イ][ウ]}<k \leqq [エ] \]
である．
(2)$①$が$\displaystyle -\frac{\pi}{6} \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{4}$の範囲で異なる$2$つの解をもつような定数$k$の値の範囲は
\[ [オ]<k \leqq \frac{[カ]}{[キ]} \]
である．

$\mathrm{AB}=\mathrm{AC}=1$，$\displaystyle \angle \mathrm{BAC}=\frac{\pi}{2}$を満たす直角二等辺三角形$\mathrm{ABC}$について，辺$\mathrm{AC}$上に点$\mathrm{D}$をとり，辺$\mathrm{AB}$と平行で点$\mathrm{D}$を通る直線を$\ell$とする．$\mathrm{AD}=t$とし，$\displaystyle 0<t \leqq \frac{1}{2}$のとき，三角形$\mathrm{ABC}$を直線$\ell$のまわりに$1$回転させてできる回転体の体積を$V(t)$とする．

(1)$V(t)$を$t$を用いて表せ．
(2)$t$が$\displaystyle 0<t \leqq \frac{1}{2}$の範囲を動くとき，$V(t)$の最小値を求めよ．

次の問に答えよ．

(1)不定積分$\displaystyle \int te^t \, dt$を求めよ．
(2)$0 \leqq a \leqq 1$を満たす定数$a$について，定積分$\displaystyle S=\int_0^1 |t-a|e^t \, dt$を$a$を用いて表せ．
(3)$a$が$0 \leqq a \leqq 1$の範囲を動くとき，$S$を最小とするような$a$の値を求めよ．

あるスポーツの試合において，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$の$2$チームが対戦し，先に$3$回勝った方が優勝とする．$1$回の試合で$\mathrm{A}$が勝つ確率を$p$，$\mathrm{B}$が勝つ確率を$1-p$とする．

(1)$\displaystyle p=\frac{1}{3}$のときに，ちょうど$4$試合目で優勝チームが決まる確率は$\displaystyle \frac{[カ]}{[キ]}$である．

(2)ちょうど$N$試合目で優勝チームが決まるとする．このとき，$0 \leqq p \leqq 1$の範囲で$N$の期待値の最大値は$\displaystyle \frac{[ク]}{[ケ]}$である．

$\displaystyle f(x)=\frac{1}{2}e^{2x}+2e^x+x$とする．次の問に答えよ．

(1)実数$t$に対して$g(x)=tx-f(x)$とおく．$x$が実数全体を動くとき，$g(x)$が最大値をもつような$t$の範囲を求めよ．また$t$がその範囲にあるとき，$g(x)$の最大値とそのときの$x$の値を求めよ．
(2)$(1)$で求めた最大値を$m(t)$とする．$a$を定数とし，$t$の関数$h(t)=at-m(t)$を考える．$t$が$(1)$で求めた範囲を動くとき，$h(t)$の最大値を求めよ．

平面上の点$\mathrm{P}(\cos \theta,\ \sin \theta)$に対して，点$\mathrm{Q}(x,\ y)$を以下のように定める．
\[ \left( \begin{array}{c}
x \\
y
\end{array} \right)=\left( \begin{array}{cc}
0 & 2 \\
\sqrt{3} & -1
\end{array} \right) \left( \begin{array}{c}
\cos \theta \\
\sin \theta
\end{array} \right) \]
$\theta$が$0 \leqq \theta \leqq 2\pi$の範囲を動くとき，次の問に答えよ．

(1)すべての点$\mathrm{Q}(x,\ y)$に対して，$ax^2+bxy+y^2$の値が$\theta$によらず一定であるとき，定数$a,\ b$の値は$a=[ヒ]$，$b=[フ]$である．
(2)原点$\mathrm{O}$と点$\mathrm{Q}$の距離の$2$乗の最小値は$[ヘ]$，最大値は$[ホ]$である．

$2$つの曲線$y=x^3-x \cdots\cdots①$および$y={(x-a)}^3-(x-a) \cdots\cdots②$がある．ただし，$a>0$とする．次の問に答えよ．

(1)$②$が$x=x_1$で極大値，$x=x_2$で極小値をとり，$x=x_1,\ x_2$における曲線$②$上の点をそれぞれ$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$とするとき，直線$\mathrm{AB}$の方程式を求めよ．
(2)曲線$①,\ ②$が異なる$2$点で交わるとき，$a$の値の範囲を求めよ．
(3)$(2)$のとき，曲線$①,\ ②$の交点の$x$座標を$\alpha,\ \beta (\alpha<\beta)$とする．$\beta-\alpha$を$a$を用いて表せ．
(4)$(2)$のとき，曲線$①,\ ②$で囲まれた部分の面積$S$を$a$を用いて表せ．

座標平面上に放物線$C:y=x^2+(2-a)x+3-a$がある．放物線$C$上の点$\mathrm{P}(-1,\ 2)$における接線を$\ell$とする．このとき，次の問に答えよ．

(1)直線$\ell$の方程式を$a$を用いて表せ．
(2)直線$\ell$が$x$軸の正の部分と交わり，かつ$y$軸の正の部分と交わるような$a$の値の範囲を求めよ．
(3)$a$の値が$(2)$で求めた範囲にあるとする．$x$軸，$y$軸，直線$\ell$で囲まれる三角形の面積を$S_1$とし，また，$y$軸，直線$\ell$，放物線$C$で囲まれる図形の面積を$S_2$とする．$S_1=3S_2$となるとき，$a$の値を求めよ．

次の空欄$[ア],\ [イ]$に「真」または「偽」のいずれかを記入せよ．また空欄$[ウ]$～$[シ]$に当てはまる数または式を記入せよ．

(1)ある自然数$n$について，命題「$n$が偶数ならば$n^2$は偶数である」の逆は$[ア]$，対偶は$[イ]$である．
(2)$3$次方程式$x^3+2x^2-8x-21=0$の解は$x=[ウ],\ [エ],\ [オ]$である．
(3)${(2x+\cos \theta)}^3$を展開したときの$x^2$の係数が$-6$のとき，$\theta=[カ]$である．ただし，$0 \leqq \theta<\pi$とする．
(4)$2$次方程式$x^2-2(k+1)x+2k^2=0$が実数解をもつような実数$k$の値の範囲は$[キ]$である．
(5)不等式$-1+2 \log_2 (x+1)>\log_{\frac{1}{2}}(2-x)$を満たす$x$の値の範囲は$[ク]$である．
(6)$\mathrm{A}$君が徒歩と自転車で移動した．スタート地点から途中まで分速$80 \, \mathrm{m}$で$30$分歩き，その後自転車に乗って$10$分進んでゴールに着いたところ，平均の速さは分速$130 \, \mathrm{m}$であった．このときの自転車の速さは分速$[ケ] \, \mathrm{m}$である．
(7)$2$つのベクトル$\overrightarrow{a}=(1,\ -2,\ 1)$と$\overrightarrow{b}=(x,\ y,\ -1)$の大きさが等しく，なす角が${60}^\circ$のとき，$x$の値は$[コ]$，$[サ]$である．
(8)数列$1,\ 11,\ 111,\ 1111,\ 11111,\ \cdots$の第$n$項を$n$の式で表すと，$[シ]$となる．

次の空欄$[ア]$～$[サ]$に当てはまる数または式を記入せよ．

(1)三角形$\mathrm{ABC}$において，$\mathrm{AB}=4$，$\mathrm{AC}=3$，$\angle \mathrm{A}={60}^\circ$とする．$\angle \mathrm{A}$の二等分線と辺$\mathrm{BC}$との交点を$\mathrm{D}$とするとき，$\mathrm{AD}$の長さは$[ア]$である．
(2)$\tan {75}^\circ$の値は$[イ]$である．
(3)$5^x-5^{-x}=6$のとき，$5^x+5^{-x}=[ウ]$である．

(4)$\displaystyle \frac{1}{1+\sqrt{3}}+\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{5}}+\frac{1}{\sqrt{5}+\sqrt{7}}+\cdots +\frac{1}{\sqrt{79}+\sqrt{81}}=[エ]$である．

(5)$4$次方程式$2x^4-5x^2-3=0$の解は$x=[オ],\ [カ],\ [キ],\ [ク]$である．
(6)$2$点$\mathrm{A}(-6,\ -1,\ 2)$，$\mathrm{B}(-4,\ 2,\ 7)$からの距離が等しい点$\mathrm{P}(x,\ y,\ z)$のうち，$x,\ y,\ z$がすべて正の整数となるのは$(x,\ y,\ z)=[ケ]$である．
(7)不等式$\sqrt{|x-3|}<5$を満たす$x$の範囲は，$[コ]$である．
(8)正六角形の頂点を反時計回りに$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$，$\mathrm{D}$，$\mathrm{E}$，$\mathrm{F}$とする．このとき，ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{AE}}$を$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$，$\overrightarrow{\mathrm{BC}}$を用いて表すと$\overrightarrow{\mathrm{AE}}=[サ]$である．