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私立 近畿大学 2013年 第2問$1$辺の長さが$1$の正四面体$\mathrm{OABC}$がある．辺$\mathrm{OA}$を$1:2$の比に内分する点を$\mathrm{P}$，辺$\mathrm{OB}$の中点を$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$を辺$\mathrm{OC}$上の点とするとき，
(1)線分$\mathrm{PQ}$の長さを求めよ．
(2)三角形$\mathrm{PQC}$の面積を求めよ．
(3)$\mathrm{R}$が辺$\mathrm{OC}$上を動くとき，三角形$\mathrm{PQR}$の面積の最小値を求めよ．
(4)頂点$\mathrm{O}$から三角形$\mathrm{PQR}$を含む平面に垂線$\mathrm{OH}$を引く．点$\mathrm{H}$が三角形$\mathrm{PQR}$の内部にあるとき，$\mathrm{OR}=r$の取りうる値の範囲を求めよ．ただし三角形の内部とはその周を含まないものとする．
(1)線分$\mathrm{PQ}$の長さを求めよ．
(2)三角形$\mathrm{PQC}$の面積を求めよ．
(3)$\mathrm{R}$が辺$\mathrm{OC}$上を動くとき，三角形$\mathrm{PQR}$の面積の最小値を求めよ．
(4)頂点$\mathrm{O}$から三角形$\mathrm{PQR}$を含む平面に垂線$\mathrm{OH}$を引く．点$\mathrm{H}$が三角形$\mathrm{PQR}$の内部にあるとき，$\mathrm{OR}=r$の取りうる値の範囲を求めよ．ただし三角形の内部とはその周を含まないものとする．
私立 近畿大学 2013年 第3問定義域を$0 \leqq x \leqq 2\pi$とする関数$f(x)=|\sin 2x-2 \sin x-2 \cos x+1|$がある．$t=\sin x+\cos x$とおき，$f(x)$を$t$で表した関数を$g(t)$とおく．
(1)関数$g(t)$を求めよ．
(2)$t$が取りうる値の範囲を求めよ．
(3)$f(x)$が取りうる値の範囲を求めよ．
(4)方程式$f(x)=k$の異なる実数解の個数$l$を$k$の値で場合分けして求めよ．
(1)関数$g(t)$を求めよ．
(2)$t$が取りうる値の範囲を求めよ．
(3)$f(x)$が取りうる値の範囲を求めよ．
(4)方程式$f(x)=k$の異なる実数解の個数$l$を$k$の値で場合分けして求めよ．
私立 大阪薬科大学 2013年 第2問次の問いに答えなさい．
実数$t$に対し，一辺の長さが$1$の正三角形$\mathrm{OAB}$の辺$\mathrm{OA}$を$t:(1-t)$に内分する点を$\mathrm{P}$，辺$\mathrm{AB}$を$2t:(1-2t)$に内分する点を$\mathrm{Q}$，辺$\mathrm{BO}$を$3t:(1-3t)$に内分する点を$\mathrm{R}$とする．ただし，$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$は正三角形$\mathrm{OAB}$の辺上にあり，いずれの頂点とも一致しないものとする．
(1)$t$がとる値の範囲は$[ ]$である．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$とする．
(i) $\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}=[ ]$である．
(ii) $\overrightarrow{\mathrm{PQ}}$を$t,\ \overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$を使って表すと，$\overrightarrow{\mathrm{PQ}}=[ ]$となる．
(iii) $\displaystyle \angle \mathrm{QPR}=\frac{\pi}{2}$となるのは，$t=[ ]$のときである．
(3)三角形$\mathrm{PQR}$の面積を$S$とする．$S$を$t$を使って表し，また$S$の最小値を求めなさい．
実数$t$に対し，一辺の長さが$1$の正三角形$\mathrm{OAB}$の辺$\mathrm{OA}$を$t:(1-t)$に内分する点を$\mathrm{P}$，辺$\mathrm{AB}$を$2t:(1-2t)$に内分する点を$\mathrm{Q}$，辺$\mathrm{BO}$を$3t:(1-3t)$に内分する点を$\mathrm{R}$とする．ただし，$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$は正三角形$\mathrm{OAB}$の辺上にあり，いずれの頂点とも一致しないものとする．
(1)$t$がとる値の範囲は$[ ]$である．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$とする．
(i) $\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}=[ ]$である．
(ii) $\overrightarrow{\mathrm{PQ}}$を$t,\ \overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$を使って表すと，$\overrightarrow{\mathrm{PQ}}=[ ]$となる．
(iii) $\displaystyle \angle \mathrm{QPR}=\frac{\pi}{2}$となるのは，$t=[ ]$のときである．
(3)三角形$\mathrm{PQR}$の面積を$S$とする．$S$を$t$を使って表し，また$S$の最小値を求めなさい．
私立 大阪薬科大学 2013年 第3問次の問いに答えなさい．
$xy$座標平面上に$3$点$\mathrm{P}(-\sqrt{3},\ 0)$，$\mathrm{Q}(0,\ 3)$，$\mathrm{R}(\sqrt{3},\ 0)$がある．$3$点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$を通る放物線を$C$とし，また同じ$3$点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$を通る円を$D$とする．
(1)$C$の方程式を$y=f(x)$とするとき，$f(x)=[ ]$である．
(2)$D$は，中心の座標が$[ ]$，半径が$[ ]$である．
(3)$D$の内部で$y \geqq f(x)$を満たす部分の面積は$[ ]$である．
(4)$C$の接線$\ell$が$D$の接線でもあるとき，$\ell$の方程式を求めなさい．
(5)$C$を$y$軸方向に$p$だけ平行移動した曲線が$D$と共通点をもつとき，$p$は$[ ]$の範囲にある．
$xy$座標平面上に$3$点$\mathrm{P}(-\sqrt{3},\ 0)$，$\mathrm{Q}(0,\ 3)$，$\mathrm{R}(\sqrt{3},\ 0)$がある．$3$点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$を通る放物線を$C$とし，また同じ$3$点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$を通る円を$D$とする．
(1)$C$の方程式を$y=f(x)$とするとき，$f(x)=[ ]$である．
(2)$D$は，中心の座標が$[ ]$，半径が$[ ]$である．
(3)$D$の内部で$y \geqq f(x)$を満たす部分の面積は$[ ]$である．
(4)$C$の接線$\ell$が$D$の接線でもあるとき，$\ell$の方程式を求めなさい．
(5)$C$を$y$軸方向に$p$だけ平行移動した曲線が$D$と共通点をもつとき，$p$は$[ ]$の範囲にある．
私立 近畿大学 2013年 第3問$\mathrm{O}$を原点とする座標平面において，曲線$\displaystyle C:y=\frac{1}{x} (x>0)$と直線$\ell:y=-2x+a$を考える．ただし，$a$は定数とする．
(1)$C$と$\ell$が$2$個の共有点をもつとき，$a$のとりうる値の範囲は，$a>[ア] \sqrt{[イ]}$である．
(2)$(1)$の条件のもとで，$C$と$\ell$の共有点を$x$座標の小さい順に$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$とする．
(i) $\mathrm{P}$の$x$座標を$\alpha$，$\mathrm{Q}$の$x$座標を$\beta$とすると
\[ \alpha+\beta=\frac{a}{[ウ]},\quad \beta-\alpha=\frac{\sqrt{a^2-[エ]}}{[オ]},\quad \alpha\beta=\frac{[カ]}{[キ]} \]
である．
(ii) $\triangle \mathrm{OPQ}$の面積は
\[ \frac{a \sqrt{a^2-[ク]}}{[ケ]} \]
である．
(iii) 線分$\mathrm{PQ}$の長さが$5$であるとき，$a=[コ] \sqrt{[サ]}$であり，このとき$C$と$\ell$で囲まれた部分の面積は
\[ \sqrt{[シス]}+\log ([セ]-\sqrt{[ソタ]}) \]
である．
(1)$C$と$\ell$が$2$個の共有点をもつとき，$a$のとりうる値の範囲は，$a>[ア] \sqrt{[イ]}$である．
(2)$(1)$の条件のもとで，$C$と$\ell$の共有点を$x$座標の小さい順に$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$とする．
(i) $\mathrm{P}$の$x$座標を$\alpha$，$\mathrm{Q}$の$x$座標を$\beta$とすると
\[ \alpha+\beta=\frac{a}{[ウ]},\quad \beta-\alpha=\frac{\sqrt{a^2-[エ]}}{[オ]},\quad \alpha\beta=\frac{[カ]}{[キ]} \]
である．
(ii) $\triangle \mathrm{OPQ}$の面積は
\[ \frac{a \sqrt{a^2-[ク]}}{[ケ]} \]
である．
(iii) 線分$\mathrm{PQ}$の長さが$5$であるとき，$a=[コ] \sqrt{[サ]}$であり，このとき$C$と$\ell$で囲まれた部分の面積は
\[ \sqrt{[シス]}+\log ([セ]-\sqrt{[ソタ]}) \]
である．
私立 桜美林大学 2013年 第1問次の問いに答えよ．
(1)$x$についての不等式$\displaystyle \frac{2x-a}{3}<\frac{x-3}{2}$をみたす最大の整数が$3$となるような実数の定数$a$がとり得る値の範囲を次の$①$～$⑤$から選ぶと$[ア]$である．
\[ ① 6<a \quad ② 6 \leqq a \quad ③ 6<a<\frac{13}{2} \quad ④ 6 \leqq a<\frac{13}{2} \quad ⑤ 6<a \leqq \frac{13}{2} \]
(2)$1000$以下の自然数で，$3$または$5$で割りきれる数は$[イ][ウ][エ]$個であり，そのうち偶数でないものは$[オ][カ][キ]$個ある．
(3)$2$つの方程式$x^2-2ax+2a^2+a-2=0$と$x^2+(2a+2)x-a+1=0$がともに実数解をもつような定数$a$の値の範囲は$[ク] \leqq a \leqq [ケ]$である．
(4)$0 \leqq x \leqq \pi$とする．関数$y=4 \sin x+3 \cos x$の最小値は$[コ]$であり，$y$の最大値を与える$x$の値を$\theta$とすると，$\displaystyle \sin 2\theta=\frac{[サ][シ]}{[ス][セ]}$である．
(5)$x$の関数$f(x)$が$\displaystyle f(x)=\int_0^1 xtf(t) \, dt+2$を満たすとき，$\displaystyle f(x)=\frac{[ソ]}{[タ]}x+[チ]$である．
(1)$x$についての不等式$\displaystyle \frac{2x-a}{3}<\frac{x-3}{2}$をみたす最大の整数が$3$となるような実数の定数$a$がとり得る値の範囲を次の$①$～$⑤$から選ぶと$[ア]$である．
\[ ① 6<a \quad ② 6 \leqq a \quad ③ 6<a<\frac{13}{2} \quad ④ 6 \leqq a<\frac{13}{2} \quad ⑤ 6<a \leqq \frac{13}{2} \]
(2)$1000$以下の自然数で，$3$または$5$で割りきれる数は$[イ][ウ][エ]$個であり，そのうち偶数でないものは$[オ][カ][キ]$個ある．
(3)$2$つの方程式$x^2-2ax+2a^2+a-2=0$と$x^2+(2a+2)x-a+1=0$がともに実数解をもつような定数$a$の値の範囲は$[ク] \leqq a \leqq [ケ]$である．
(4)$0 \leqq x \leqq \pi$とする．関数$y=4 \sin x+3 \cos x$の最小値は$[コ]$であり，$y$の最大値を与える$x$の値を$\theta$とすると，$\displaystyle \sin 2\theta=\frac{[サ][シ]}{[ス][セ]}$である．
(5)$x$の関数$f(x)$が$\displaystyle f(x)=\int_0^1 xtf(t) \, dt+2$を満たすとき，$\displaystyle f(x)=\frac{[ソ]}{[タ]}x+[チ]$である．
私立 産業医科大学 2013年 第2問$\displaystyle 0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{2}$において定義された$2$つの曲線
\[ y=a \sin 2x,\quad y=\sin 4x \]
について次の問いに答えなさい．ただし，$a$は定数である．
(1)$2$つの曲線が$\displaystyle 0<x<\frac{\pi}{2}$で交点を持つように$a$の値の範囲を定めなさい．
(2)$a$が$(1)$で定められた範囲にあるとき，$2$つの曲線によって囲まれた図形は$(1)$の交点を境にして$2$つの部分に分けられる．それらのうち原点を含む部分の面積を$S_1$，原点を含まない部分の面積を$S_2$とする．$S_1:S_2=4:1$となるように$a$の値を定めなさい．
\[ y=a \sin 2x,\quad y=\sin 4x \]
について次の問いに答えなさい．ただし，$a$は定数である．
(1)$2$つの曲線が$\displaystyle 0<x<\frac{\pi}{2}$で交点を持つように$a$の値の範囲を定めなさい．
(2)$a$が$(1)$で定められた範囲にあるとき，$2$つの曲線によって囲まれた図形は$(1)$の交点を境にして$2$つの部分に分けられる．それらのうち原点を含む部分の面積を$S_1$，原点を含まない部分の面積を$S_2$とする．$S_1:S_2=4:1$となるように$a$の値を定めなさい．
私立 広島工業大学 2013年 第7問$2$次不等式$x^2-2ax \leqq x$において，定数$a$は$\displaystyle a<-\frac{1}{2}$を満たすとする．次の問いに答えよ．
(1)この$2$次不等式を満たす実数$x$の値の範囲を求めよ．
(2)$(1)$で求めた$x$の範囲において，関数$f(x)=x^2-4ax$の最小値が$-11$であるとき，定数$a$の値を求めよ．
(1)この$2$次不等式を満たす実数$x$の値の範囲を求めよ．
(2)$(1)$で求めた$x$の範囲において，関数$f(x)=x^2-4ax$の最小値が$-11$であるとき，定数$a$の値を求めよ．
私立 成城大学 2013年 第1問$x$の方程式$kx^2+4(k-1)x+k+5=0$が次の条件を満たすとき，実数の定数$k$の値の範囲をそれぞれ求めよ．
(1)正の解と負の解をもつ．
(2)異なる$2$つの正の解をもつ．
(1)正の解と負の解をもつ．
(2)異なる$2$つの正の解をもつ．
私立 東京女子大学 2013年 第5問座標空間における点$\mathrm{A}(2,\ -1,\ 2)$，$\mathrm{B}(-1,\ 1,\ -1)$に対し，以下の設問に答えよ．ただし$\mathrm{O}$は原点を表す．
(1)$\cos \angle \mathrm{AOB}$を求めよ．
(2)$x \geqq 0$の範囲にある点$\mathrm{C}(x,\ y,\ z)$で，$\overrightarrow{\mathrm{OC}}$が$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$の両方と直交し，かつ$|\overrightarrow{\mathrm{CA}}|=5$となるものを求めよ．
(3)四面体$\mathrm{OABC}$の体積を求めよ．
(1)$\cos \angle \mathrm{AOB}$を求めよ．
(2)$x \geqq 0$の範囲にある点$\mathrm{C}(x,\ y,\ z)$で，$\overrightarrow{\mathrm{OC}}$が$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$の両方と直交し，かつ$|\overrightarrow{\mathrm{CA}}|=5$となるものを求めよ．
(3)四面体$\mathrm{OABC}$の体積を求めよ．