次の問に答えよ．

(1)不等式$\displaystyle |x|<\frac{x+4}{3}$を解け．
(2)$a$を定数とする．$x$についての$2$次不等式$x^2-(a+3)x-(2a^2-3a-2)<0$を解け．
(3)$(2)$の不等式の解が$(1)$の不等式の解に含まれるように，$a$の値の範囲を求めよ．

次の問に答えよ．

(1)連立方程式$2x+y-3=0$，$ax-y+2a-7=0$が$x>0$，$y>0$となる解をもつとき，$a$がとりえる値の範囲は$[　]<a<[　]$である．
(2)$x$の$2$次方程式$(k^2-1)x^2-x+1=0$が正の$2$つの解$\alpha,\ \beta$をもち，かつ$k \alpha\beta=2 \alpha-\beta$を満たすとき，$\displaystyle k=\frac{[][]}{[][]}$，$\displaystyle \alpha=\frac{[][]}{[　]}$，$\displaystyle \beta=\frac{[][]}{[　]}$である．

次の問に答えよ．

(1)不等式$16 \cdot 8^{-x}-48 \cdot 4^{-x}+32 \cdot 2^{-x}<0$を満たす$x$の値の範囲は$-[　]<x<[　]$である．
(2)$\log_a b+\log_b c+\log_c a=\log_a b \cdot \log_b c+\log_b c \cdot \log_c a+\log_c a \cdot \log_a b=3$が成り立つとき，$\displaystyle \frac{(a+b)(b+c)(c+a)}{abc}=[　]$である．
(3)$\log_4 (x^4+2)-2 \log_4 2x$の最小値は$\displaystyle -\frac{[　]}{[　]}$である．

$\triangle \mathrm{OAB}$において$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$とする．$2$つの正の数$s,\ t$に対して，$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=s \overrightarrow{a}+t \overrightarrow{b}$となるように点$\mathrm{C}$を定める．また，線分$\mathrm{AC}$および線分$\mathrm{BC}$の中点をそれぞれ$\mathrm{M}$，$\mathrm{N}$とし，直線$\mathrm{OM}$および直線$\mathrm{ON}$が線分$\mathrm{AB}$と交わる点をそれぞれ$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$とする．$|\overrightarrow{a}|=2$，$|\overrightarrow{b}|=3$，$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}=5$のとき，次の問いに答えよ．

(1)線分$\mathrm{AB}$の長さ，および$\triangle \mathrm{OAB}$の面積$S_1$を求めよ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$を$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$，$s$，$t$を用いて表せ．
(3)$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$を$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$，$s$，$t$を用いて表せ．
(4)$\triangle \mathrm{OPQ}$の面積を$S_2$とする．$S_2$を$s,\ t$を用いて表せ．
(5)$\displaystyle S_2=\frac{1}{4}S_1$となるための$s,\ t$の条件を求め，$s,\ t$がその条件をみたしながら動くとき，点$\mathrm{C}$の存在する範囲を求めよ．

次の$[　]$に適する数または式を記入せよ．

(1)行列$A=\left( \begin{array}{cc}
\cos \alpha & \sin \alpha \\
\sin \alpha & -\cos \alpha
\end{array} \right)$と$B=\left( \begin{array}{cc}
\cos \beta & \sin \beta \\
\sin \beta & -\cos \beta
\end{array} \right) (0<\beta<\alpha<2\pi)$の積$AB$の$(1,\ 1)$成分は$\theta=\alpha-\beta$を用いて表すと$[　]$となり，$(1,\ 2)$成分は$\theta$を用いて表すと$[　]$となる．ここで点$\mathrm{P}_1(\sqrt{2},\ \sqrt{2})$が$AB$で表される$1$次変換によって点$\displaystyle \mathrm{P}_2 \left( \frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2},\ \frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2} \right)$に移るとすると$\theta=[　]$となる．このとき，${(AB)}^{25}$で表される$1$次変換によって点$\mathrm{P}_1$が移る点の$x$座標は$[　]$となり，$((AB)^{-1})^{2013}$で点$\mathrm{P}_1$が移る点の$x$座標は$[　]$となる．
(2)関数$f(x)=(ax^2+bx)e^{-x^2}$は$\displaystyle x=\frac{1}{2}$で極大値$1$をとるとする．このとき，$a=[　]$，$b=[　]$であり，$f(x)>0$を満たす範囲は$0<x<[　]$となる．この区間で関数$g(x)=\log f(x)$を考える．曲線$C:y=g(x)$の点$\displaystyle \left( 1,\ -\frac{3}{4} \right)$における接線の方程式は$y=[　]$となり，曲線$C$と直線$y=k$が共有点をもたない$k$の値の範囲は$[　]$となる．

座標空間において$3$点$\mathrm{A}(0,\ 0,\ 4)$，$\mathrm{B}(a,\ 1,\ 2)$，$\mathrm{C}(x,\ y,\ 0)$をとる．ただし$a$は正の実数とする．次の問いに答えよ．

(1)$\mathrm{AB}=\mathrm{BC}$となる条件を$a,\ x,\ y$を用いて表せ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$と$\overrightarrow{\mathrm{BC}}$が直交する条件を$a,\ x,\ y$を用いて表せ．
(3)$\mathrm{AB}=\mathrm{BC}$かつ$\angle \mathrm{ABC}$が直角となる点$\mathrm{C}$が存在する$a$の値の範囲を求めよ．

次の問いに答えよ．

(1)放物線$y=x^2+ax+b$が$2$点$(-2,\ 23)$，$(3,\ -2)$を通るとき，定数$a,\ b$の値を求めよ．
(2)$(1)$の放物線と直線$y=-x+3$の$2$つの交点の座標を求めよ．
(3)$(2)$の$2$つの交点の$x$座標をそれぞれ$m,\ n$とする．ただし，$m<n$とする．放物線$y=x^2-6x-k^2+4k+5$が$m \leqq x \leqq n$の区間において，常に$y<0$の部分にあるような定数$k$の値の範囲を求めよ．

定価が$1$個$60$円の商品がある．この商品を定価と同じ価格で販売したところ，$1$日の売り上げ個数は$1500$個であった．このとき，次の問いに答えよ．

(1)この商品を定価以上の価格で販売したところ，$1$円値上げするごとに$1$日の売り上げ個数が$15$個の割合で減少した．定価からの値上げ額を$x$円，$1$日の売り上げを$y$円として，$y$を$x$の関数で表せ．ただし，$x \geqq 0$，$y \geqq 0$とする．
(2)$(1)$の場合において，この商品の価格がいくらのとき，$1$日の売り上げが最高になるか求めよ．また，そのときの売り上げがいくらになるか求めよ．
(3)この商品を定価以下の価格で販売したところ，$1$円値下げするごとに$1$日の売り上げ個数が$50$個の割合で増えた．このとき，$(2)$で求めた売り上げの最高額よりも$1$日の売り上げが高くなるような価格の範囲を求めよ．

負の実数$a,\ b$は，$u$についての$2$次方程式$u^2-su+t=0$の解で，$a^3+b^3-2ab=-4$を満たしている．このとき，設問に答えなさい．

(1)$a+b,\ ab$および$a^3+b^3-2ab$を$s,\ t$を用いて表すと，
\[ a+b=[$1$],\quad ab=[$2$],\quad a^3+b^3-2ab=[$3$] \]
となる．
(2)以下の$s,\ t$に対する記述（イ），（ロ），（ハ）のうち正しいものを選び，その記号を解答欄に記入しなさい．

\mon[（イ）] $s,\ t$は$s>0$，$t>0$，$s^2-4t \geqq 0$を満たしている．
\mon[（ロ）] $s,\ t$は$s<0$，$t>0$，$s^2 \geqq 4t$を満たしている．
\mon[（ハ）] $s,\ t$は$s<0$，$t>0$，$s^2<4t$を満たしている．

(3)$a+b$のとりうる値の範囲を求めなさい．

座標平面上の点$(x,\ y)$に対し，
\[ y=2 \sqrt{-x^2+4x-3}+1 \cdots\cdots① \]
が成立している．

(1)$①$の定義域は$[ア] \leqq x \leqq [イ]$，値域は$[ウ] \leqq y \leqq [エ]$である．
(2)$2$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$を$([オ],\ [カ] \pm \sqrt{[キ]})$にとると，$①$のグラフ上の任意の点$\mathrm{P}$に対し，常に$\mathrm{PA}+\mathrm{PB}=[ク]$が成り立つ．
(3)直線$y=x+k$が$①$のグラフと共有点を持つような定数$k$の範囲は
\[ [ケコ] \leqq k \leqq [サシ]+\sqrt{[ス]} \]
である．
(4)不等式$x-1 \leqq 2 \sqrt{-x^2+4x-3}+1$の解は
\[ [セ] \leqq x \leqq [ソ]+\frac{[タ]}{[チ]} \sqrt{[ツ]} \]
である．