座標平面において，媒介変数$t$の範囲が$0 \leqq t \leqq \pi$であるサイクロイド
\[ x=t-\sin t,\quad y=1-\cos t \]
を$C$とする．

(1)曲線$C$上で$y$座標が最大になる点を$\mathrm{A}$とすると，$\mathrm{A}$の座標は$([ア],\ [イ])$である．
(2)直線$y=x+k$がこの曲線$C$の$0<t \leqq \pi$の部分に接するのは$\displaystyle t=\frac{\pi}{[ウ]}$のときであり，その接点の座標は$\displaystyle \left( \frac{\pi}{[エ]}-[オ],\ [カ] \right)$である．このとき，$\displaystyle k=[キ]-\frac{\pi}{[ク]}$である．
(3)曲線$C$と$x$軸，および点$\mathrm{A}$を通り$y$軸に平行な直線$\ell$で囲まれた図形の面積は$\displaystyle \frac{[ケ]}{[コ]} \pi$である．
(4)$(2)$の接線，$x$軸および直線$\ell$とで囲まれた図形から$(3)$の図形を除いた部分の面積は$\displaystyle \frac{\pi^2}{[サ]}-\frac{\pi}{[シ]}+[ス]$である．

空欄$[$1$]$から$[$11$]$にあてはまる数値または式を記入せよ．

(1)方程式$2x^2+3x-4=0$の解は$[$1$]$である．
(2)$a,\ b$を定数とし，$a>0$とする．$1$次関数$y=ax+b (-1 \leqq x \leqq 5)$の値域が$-2 \leqq y \leqq 2$であるとき，$a,\ b$の値は$a=[$2$]$，$b=[$3$]$である．
(3)放物線$y=x^2+x+2$と直線$y=ax-a$が共有点をもたないような定数$a$の値の範囲は$[$4$]$である．
(4)多項式$P(x)=x^3+ax^2+2x+5a$を$x-3$で割った余りが$5$であるとき，定数$a$の値は$[$5$]$であり，商は$[$6$]$である．
(5)半径$r$の円$x^2+y^2=r^2$と直線$4x+3y-5=0$が接するとき，$r=[$7$]$である．また，接点の座標は$[$8$]$である．
(6)$\triangle \mathrm{ABC}$において，$\mathrm{AB}=1$，$\mathrm{BC}=\sqrt{3}$，$\mathrm{CA}=\sqrt{5}$のとき，$\cos A$の値は$[$9$]$，$\triangle \mathrm{ABC}$の面積は$[$10$]$である．また，$\triangle \mathrm{ABC}$の外接円の半径は$[$11$]$である．

空欄$[$1$]$から$[$11$]$にあてはまる数値または式を記入せよ．

(1)$x=\sqrt{7}+3$，$y=\sqrt{7}-3$のとき，$xy=[$1$]$，$x^2+y^2=[$2$]$，$\displaystyle \frac{1}{x}+\frac{1}{y}=[$3$]$である．
(2)$(x+9)^2-(x+9)-12$を因数分解すると$[$4$]$となる．
(3)連立不等式
\setstretch{2}
\[ \left\{ \begin{array}{l}
2x-3 \leqq 4x+6 \\
\displaystyle 3x+2 \leqq \frac{5x+3}{2}
\end{array} \right. \]
\setstretch{1.3}
の解は$[$5$]$である．
(4)方程式$2x^2-kx+3=0$が実数解をもたないような定数$k$の値の範囲は$[$6$]$である．
(5)$a,\ b$を定数とし，$a>0$，$b>0$とする．関数$y=ax^2$のグラフに，$y$軸上の点$(0,\ -b)$から接線を引く．$2$つの接線のうち，傾きが正であるものを$\ell$とし，接線$\ell$と放物線$y=ax^2$の接点を点$\mathrm{P}$とする．このとき，接線$\ell$の方程式と点$\mathrm{P}$の座標を$a$と$b$を用いて表すと，$\ell$の方程式は$[$7$]$，$\mathrm{P}$の座標は$[$8$]$となる．
(6)$2$次関数$y=f(x)$のグラフ$C$は，点$(0,\ 5)$を通り，$C$上の点$(-1,\ f(-1))$における接線は，$y=-11x+3$である．このとき，$f(x)=[$9$]$である．また，放物線$C$の$x \leqq 2$の部分と$x$軸および直線$x=2$で囲まれた部分の面積は$[$10$]$である．
(7)方程式$\displaystyle 5^{2x-3}-25^{x-1}+125^{\frac{2x}{3}}=121$の解は$[$11$]$である．

$y=4 \sin^2 \theta-3 \cos \theta+2a-1$とする．以下の問いに答えよ．ただし，$a$は定数，$0 \leqq \theta \leqq \pi$とする．

(1)$\cos \theta=t$とおいて，$y$を$t$で表し，それを$f(t)$とする．$f(t)$を求めよ．
(2)$t$の値のとりうる範囲を求めよ．
(3)$t$についての$2$次方程式$f(t)=0$の解の判別式を$a$で表せ．
(4)$t$についての$2$次方程式$f(t)=0$が，$(2)$で求めた範囲で異なる$2$つの実数解をもつような定数$a$の値の範囲を求めよ．

次の空欄を適当に補え．

(1)$x$が$x^2+x+1=0$を満たすとする．このとき$2x^4-x^3-2x^2-4x+2$の値は$[$(\mathrm{a])$}$である．
(2)方程式$3^{2x+1}+2^3 \cdot 3^x-3=0$を解くと$x=[$(\mathrm{b])$}$である．
(3)$2$つの単位ベクトル$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$に対して，$2 \overrightarrow{a}+3 \overrightarrow{b}$の大きさが$\sqrt{7}$のとき，$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$のなす角は$[$(\mathrm{c])$}$である．
(4)$t>0$とする．$3$次関数$y=x^3-3x^2-9x+t$のグラフと$x$軸との共有点がただ$1$つのとき，定数$t$の値の範囲は$[$(\mathrm{d])$}$である．
(5)$\mathrm{A}$を含む男子$4$人と$\mathrm{B}$を含む女子$5$人が$1$列に並ぶ．このとき，$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$が隣り合う確率は$[$(\mathrm{e])$}$である．また，男子が隣り合わない確率は$[$(\mathrm{f])$}$である．
(6)関数$\displaystyle f(x)=\frac{1}{2}x^2-3 \log (x+2)$の最小値は$[$(\mathrm{g])$}$である．

関数$\displaystyle f(x)=\frac{1}{3}x^3-(2a-1)x^2+3a(a-2)x-a(a-10)$を考える．ただし，$a$は正の実数とする．

(1)不等式$f(0)>0$が成り立つような定数$a$の値の範囲を求めよ．また，$f(x)$の導関数$f^\prime(x)$を求めよ．
(2)関数$f(x)$の極小値を$a$を用いて表せ．
(3)方程式$f(x)=0$が$2$つの異なる正の解と$1$つの負の解をもつような定数$a$の値の範囲を求めよ．

次の設問の空欄を，あてはまる数値や記号，式などで埋めなさい．

(1)塔の高さを測るために，塔から水平に$380 \; \mathrm{m}$離れた地点で塔の先端の仰角を測ったところ，$59^\circ$であった．目の高さを$1.6 \; \mathrm{m}$とすると，塔の高さは$[　] \, \mathrm{m}$である．（小数第$3$位を四捨五入すること．また，$\sin 59^\circ=0.8572$，$\cos 59^\circ=0.5150$，$\tan 59^\circ=1.6643$とする．）
(2)連立不等式$8x-12<4(x+2)<6x$を解くと，$[　]$である．
(3)点$(0,\ a)$から円$x^2+y^2=1$に引いた$2$本の接線の傾きを$a$を用いて表すと，$[　]$と$[　]$である．（ただし，$|a|>1$とする．）
(4)ベクトル$\overrightarrow{a}=(1,\ 2,\ 1)$とベクトル$\overrightarrow{b}=(2,\ 1,\ -1)$のなす角を$\theta_1 (0^\circ \leqq \theta_1 \leqq 180^\circ)$とし，ベクトル$\overrightarrow{c}=(1,\ -1,\ 2)$とベクトル$\overrightarrow{d}=(-4,\ 2,\ 3)$のなす角を$\theta_2 (0^\circ \leqq \theta_2 \leqq 180^\circ)$とする．このとき，$\theta_1$と$\theta_2$の大小関係は$[　]$である．
(5)次の和を求めよ．

(i) $1 \cdot 1+2 \cdot 3+3 \cdot 5+\cdots +n \cdot (2n-1)=[　]$
(ii) $1 \cdot 1^2+2 \cdot 3^2+3 \cdot 5^2+\cdots +n \cdot (2n-1)^2=[　]$

(6)次の値を求めよ．
$(ⅰ) \sqrt[6]{64}=[　] \qquad (ⅱ) \sqrt[5]{0.00001}=[　]$
$(ⅲ) \sqrt[3]{216}=[　] \qquad \tokeishi \sqrt[3]{\sqrt{729}}=[　]$
(7)$2$次方程式$x^2+2kx+(2k+3)=0$の$2$つの解を$\alpha,\ \beta$とするとき，$0<\alpha<1$，$2<\beta<3$となるような定数$k$の値の範囲は，$[　]$である．
(8)赤色の球が$2$個，青色の球が$3$個，黄色の球が$4$個入った袋がある．この袋から同時に$3$個の球を取り出すとき，取り出した球に赤色の球が含まれない確率は$[　]$であり，取り出した球の色が$2$種類である確率は$[　]$である．

次の問いに答えよ．

(1)$0 \leqq \theta<2\pi$とする．$2 \sin^2 \theta-3 \cos \theta-3 \geqq 0$を満足する$\theta$の範囲は$[　]$であり，この$\theta$に対する$\tan \theta$の最大値は$[　]$である．
(2)数字$1$のカード$1$枚，数字$3$のカード$2$枚，数字$a$（$a$は$1,\ 3,\ 6$以外の正の整数）のカード$2$枚，数字$6$のカード$b$枚の中から無作為に$1$枚のカードを取り出したとき，そのカードに記された数字の期待値が$\displaystyle \frac{9}{2}$になった．このとき$(a,\ b)$の組をすべて求めると$(a,\ b)=[　]$である．
(3)$f(x)=x^6-2x^4-x^2+2$とする．$f(x)$を整数の範囲で因数分解すると$[　]$となり，複素数の範囲で因数分解すると$[　]$となる．

$\displaystyle 0 \leqq t \leqq \frac{\pi}{2}$とする．時刻$t$における座標平面上の点$\mathrm{P}(x,\ y)$の位置が$x=\sin t$，$y=\sin 2t$で与えられている．

(1)原点$\mathrm{O}(0,\ 0)$から点$\mathrm{P}$が最も遠方にあるとき，$2$点$\mathrm{O}$，$\mathrm{P}$間の距離は$[　]$であり，そのときの点$\mathrm{P}$の速度$\overrightarrow{v}$は$\overrightarrow{v}=[　]$である．
(2)点$\mathrm{P}$の軌跡を$y=f(x)$と表すと，$f(x)=[　]$である．ただし$x$の範囲は$[　]$である．
(3)$(2)$で求めた軌跡と$x$軸とで囲まれてできる図形の面積は$[　]$である．

次の問に答えよ．

(1)関数$f(x)=x^3+3ax^2+3(10-3a)x$が極値をもつような実数$a$の範囲を求めよ．
(2)曲線$y=e^x-2$と$x$軸および$y$軸で囲まれた部分の面積を求めよ．
(3)定積分$\displaystyle \int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}} (\cos x) \log (\sin x) \, dx$の値を求めよ．ただし，$\log$は自然対数とする．