$|\overrightarrow{a}|=2$，$|\overrightarrow{b}|=1$，$\displaystyle \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}=\frac{\sqrt{14}}{2}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}+\sqrt{t} \overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{a}-\sqrt{t} \overrightarrow{b} (t>0)$とするとき，$\angle \mathrm{AOB}$が鋭角となるような$t$の値の範囲は$[　]$であり，$\angle \mathrm{AOB}=60^\circ$となるような$t$の値は$[　]$である．

$x$に関する方程式$3 \log_x 5+2 \log_5 x=7$を解くと$x=[　]$である．また，すべての実数$x$に対して，不等式$x^2 \log_23+2x \log_2a+\log_23 \geqq x^2+2x+1$が成立するとき，$a$のとりうる値の範囲は$[　]$である．

関数$\displaystyle f(x)=\int_0^4 |t(t-x)| \, dt$について，実数$x$が$-5 \leqq x \leqq 5$の範囲を動くとき，次の問いに答えよ．

(1)$f(x)$の最大値と，最大値を与える$x$の値を求めよ．
(2)$f(x)$の最小値と，最小値を与える$x$の値を求めよ．

$xy$平面上の曲線$C_1:y=x \sin x$と，傾き$m$の直線$C_2:y=mx$について，次の問いに答えよ．

(1)点$(a,\ a \sin a)$における$C_1$の接線の方程式を求めよ．
(2)$C_1$と$C_2$が$0<x<\pi$の範囲で接する$m$の値を求めよ．
(3)$(2)$のとき，$C_1$を$0 \leqq x \leqq \pi$に制限した曲線と$C_2$とで囲まれた部分の面積を求めよ．
(4)$(3)$で得られた部分を，$x$軸のまわりに$1$回転して得られる立体の体積を求めよ．

以下の$[　]$にあてはまる式または数値を入れよ．

(1)多項式$2x^3-3x^2+2x-8$を$2x^2-1$で割った余りは$[　]$である．
(2)不等式$\displaystyle \sqrt{2x-1}<\frac{1}{2}(x+1)$を満たす$x$の値の範囲は$[　]$である．
(3)$\displaystyle a_1=1,\ \frac{1}{a_{n+1}}=\frac{1}{a_n}+1 (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$で定義される数列$\{a_n\}$の一般項は$[　]$である．
(4)不等式$\displaystyle \left( \frac{1}{2} \right)^{2x}>\frac{1}{2} \left( \frac{1}{16} \right)^{x}$を満たす$x$の値の範囲は$[　]$である．

(5)$\left( \begin{array}{cc}
2 & 1 \\
4 & 2
\end{array} \right) \left( \begin{array}{rr}
a & 3 \\
-2 & b
\end{array} \right)=O$が成り立つとき，$a,\ b$の値は$(a,\ b)=[　]$である．ただし，$O$は$2$次の零行列である．

以下の$[　]$にあてはまる式または数値を入れよ．

(1)$2x^2+5xy-3y^2-3x+5y-2$を因数分解すると$[ア]$であり， \\
$a(b^2-c^2)+b(c^2-a^2)+c(a^2-b^2)$を因数分解すると$[イ]$である．
(2)$1$から$100$までの整数のうち，$2$の倍数全体の集合を$A$，$3$の倍数全体の集合を$B$，$5$の倍数全体の集合を$C$とする．$A \cup B$の要素の個数は$[ウ]$であり，$(A \cup B) \cap C$の要素の個数は$[エ]$である．
(3)不等式$3^{2x+1}+2 \cdot 3^x>1$を満たす$x$の値の範囲は$[オ]$である．
(4)三角形$\mathrm{ABC}$において，辺$\mathrm{BC}$を$2:3$の比に内分する点を$\mathrm{P}$，辺$\mathrm{CA}$を$4:5$の比に内分する点を$\mathrm{Q}$，辺$\mathrm{AB}$を$[カ]$の比に内分する点を$\mathrm{R}$とするとき，$3$直線$\mathrm{AP}$，$\mathrm{BQ}$，$\mathrm{CR}$は$1$点で交わる．

以下の$[　]$にあてはまる式または数値を入れよ．
\[ f(x)=\frac{1}{2} \sin^2 x+4 \sin x \cos x+\frac{1}{2} \cos^2 x+\sin x+\cos x \quad (0 \leqq x \leqq \pi) \]
の最大値および最小値を次のようにして求める．

まず，$t=\sin x+\cos x$とおくと，$t$の値がとりうる範囲は$[ア]$である．次に，$\sin x \cos x$を$t$の式で表すと$[イ]$である．よって，$f(x)$を$t$の式で表した関数を$g(t)$とすると，$g(t)=[ウ]$となる．
$g(t)$は$[ア]$の範囲で$t=[エ]$のときに最大値$[オ]$をとり，$t=[カ]$のときに最小値$[キ]$をとる．したがって，$f(x)$の最大値は$[オ]$，最小値は$[キ]$である．

以下の$[　]$にあてはまる式または数値を入れよ．

$a$を正の実数とし，$xy$平面上に放物線$C:y=ax^2$とその上の点$\mathrm{P}(p,\ ap^2)$とが与えられている．ただし，$p>0$とする．原点を$\mathrm{O}$とする．
(1)放物線$C$と$x$軸および直線$x=p$で囲まれた部分の面積を$S_1(p)$とすると，$S_1(p)=[ア]$である．
(2)放物線$C$の$\mathrm{P}$における接線$\ell_1$の方程式は$y=[イ]$である．
(3)$\mathrm{P}$を通り$\ell_1$に垂直な直線$\ell_2$の方程式は$y=[ウ]$であり，$\ell_2$と$x$軸との交点を$\mathrm{Q}$とすると，$\mathrm{Q}$の$x$座標は$[エ]$である．
(4)点$\mathrm{R}(0,\ 1)$とする．$\mathrm{OQ}$，$\mathrm{OR}$を$2$辺とする長方形の面積を$S_2(p)$とし，$f(p)=S_1(p)-S_2(p) (p>0)$とおく．関数$f(p)$が極値をもつような$a$の値の範囲は$[オ]$である．
(5)$\displaystyle a=\frac{1}{10}$のとき，$f(p)$の極値を求めて，さらに$f(p)$のグラフを描け．

$x^2-|x|-3 \leqq 0$となる$x$の範囲を求めなさい．

放物線$C:y=x^2$上の点$\mathrm{P}$に対し，$\mathrm{P}$における$C$の法線を$L(\mathrm{P})$とする（$L(\mathrm{P})$は，$\mathrm{P}$を通り，$\mathrm{P}$での$C$の接線に直交する直線である）．点$\mathrm{Q}(a,\ 1)$に対し，$L(\mathrm{P})$が$\mathrm{Q}$を通るような$C$上の点$\mathrm{P}$がちょうど$3$個あるための$a$の範囲を求めよ．